Nekonečno je Trojský kůň matematiky. Zničí matematiku? A jak to souvisí s pyramidami?

Egyptské pyramidy jsou poslední existující ze sedmi divů světa. Vznikly vlastně z iracionálních důvodů, z náboženské představy posmrtného života. Přesto byla tato iracionalita motivem k postavení něčeho úžasného!

Iracionální egyptské náboženství bylo také silou, která tmelila starý Egypt, a brzdila vnitřní spory. To je ostatně jedna z kladných stránek prakticky každého náboženství, že brzdí konflikty uvnitř komunity. Ovšem agresivitu pak přesměruje ven, viz náboženské války, třeba křižácké.

Ale co má náboženství společného s nekonečnem? Když nahlédnete do historie matematiky, třeba z pera geniálního Prof. Vopěnky, zjistíte, že existuje jediný důvod pro zavedení nekonečna do matematiky, a tím je absolutní bůh. Cantor vpustil do své teorie množin nekonečno na boží pokyn, jak sám přiznal. Dokonce některé matematické entity označil řeckým písmenem Ω (omega), neboť bůh v Bibli říká: „Já jsem alfa a omega.“ Což znamená, že je vším. Ona omega je totiž poslední písmeno řecké abecedy, takže je to totéž, jako bychom řekli „Vše od A do Zet.“

Úžasné pyramidy vznikly vlastně z iracionálních důvodů. (Pixabay free photo)

Aktuální nekonečno je takový mechanický bůh v matematice, neboť na něj neplatí žádné matematické zákony, porušuje třeba aritmetiku. Nelze ho sčítat, odčítat, násobit jím nebo dělit. Více se můžete o tomto problému dovědět v článku Nekonečno jako mechanický bůh. Ovšem protože pro nekonečno neplatí jediný matematický zákon, je zřejmé, že to ani není matematický pojem. Je mimo matematiku. Je to totiž také logicky sporný, podobně jako trojúhelník se sedmi vrcholy. Je to vyčerpání všech nevyčerpatelných možností, ukončení toho, co nemá konec, jak poznamenává zmíněný Vopěnka.

Ujasněme to, co se často plete. Jsou totiž dvě nekonečna. Jedno už uskutečněné, tzv. aktuální a druhé potenciální. To potenciální „nekonečno“ vlastně žádné správné nekonečno není, protože je to vždy něco konečného. Je třeba ukonečeno největším číslem, které kdy kdo zapsal. To ale přece můžeme kdykoliv změnit! Je to tedy něco dynamického, ne strnulého jako aktuální nekonečno. A tato dvě nekonečna jsou absolutní protiklady. Protože potenciální „nekonečno“, ktré vždy bude konečné, bude vždy přesně 0% toho aktuálního. Toto dělení na dva typy nekonečna zavedl už Aristoteles a píše o něm třeba Avicena.

Nekonečno (grafika majetkem JF)

To, o čem hovoříme, že v matematice neexistuje, je ono aktuální nekonečno. To potenciální není kvůli své dynamice logicky sporné a je tedy reálným matematickým objektem. Ovšem mnohem složitějším než nekonečno aktuální, které je „mechanicky“ prosté.

Aktuální nekonečno je vlastně náboženská iracionalita. A je zajímavé, že proniklo do matematiky na jediném místě, a to jako údajně nekonečná množiny všech přirozených čísel, kterou použil Cantor jako axiom své teorie množin. (Přirozená čísla jsou celá kladná čísla, 1, 2, 3, .... .) Že taková množina neexistuje, si můžete přečíst třeba ve Vopěnkově článku Neexistence množiny všech přirozených čísel. Důkaz neexistence takové nekonečné množiny provedl už Galileo, což byl také důvod, proč se matematika nekonečnu vyhýbala asi do roku 1900. Další důkaz neexistence této množiny předvedl Skolem v roce 1934. A rozpornost a tedy neexistenci nekonečna dokázal i zmíněný Avicena. (Když píšeme jen nekonečno a nedodáváme k tomu přívlastek potenciální, mluvíme vždy o aktuálním nekonečnu.)

Nekonečno je Trojský kůň v matematice (Pixabay free photo)

Nekonečno coby Trojský kůň, ve kterém se skrývá nevědecká boží iracionalita, proniklo do matematiky branou zvanou množina všech přirozených čísel. Překvalivé ale je, že tam vykonalo extrémně užitečnou práci. Pomohlo vytvořit Cantrovu teorii množin a sjednotit tak prakticky celou matematiku. A spolu-vytvořilo extrémně velké množství cenných matematických výsledků. Je to vlastně podobné jako s těmi pyramidami. Náboženství má, vedle ničívé síly, i sílu tvořivou, jak je vidět.

Chybička je ale v tom, že všechny ty úžasné matematický výsledky nevytvořilo aktuální nekonečno. Ona entita je pro mnohé aktuálním nekonečnem, ve skutečnosti je to ale něco mnohem menšího. Dokonce je to menší než „nekonečno“ potenciální, protože je to pouze část poteciálního „nekonečna“. S potenciálním „nekonečnem“ je potíž právě v jeho dynamičnosti, neurčitosti a horizontu. Proto to, co Cantor nevědomky udělal, nebylo zavedené akuálního nekonečna do matematiky, jak si myslel, ale zavedení „nekonečna“ potenciálního s tím, že se ignoruje jeho dynamický horizont. Podobně jako Neo v prvním dílu Matrixu šel po správné cestě zvyšování svých nadlidských schopností, a přitom si myslel, že dělá něco jiného, že zachraňuje Morfea, stejně tak činil Cantor něco jiného, než si myslel. Není třeba, jak se v Matrixu říká, znát správnou cestu, ale jít po ní.

Matrix (Pixabay free grahics)

Cantor se omezil jen na konečnou část přirozených čísel a ignoroval přitom flexibilitu této množinu, protože to by tak zkomplikovalo jeho snažení, že by to v té době asi nezvládl. Podobně postupoval Newton, který vlastně dělal velmi zjednodušenou „verzi teorií relativity“ pro rychlosti malé ve srovnání s rychlostí světla a pro slabá gravitační pole, čímž se složitosti těchto dvou teorií nevědomky vyhnul. A také Newtonova mechanika platí jen pro velké objekty, čím se Issac nevědomky vyhnul složitosti kvantové mechaniky, a proto tenkrát uspěl. Mimochodem si všimněme, že idealizace neexistujících nekonečen jsou i v Newtonově fyzice. Je to nekonečná rychlost, coby důsledem údajné absolutnosti prostoru a času. A nekonečně malé dílky reality, které dávají nekonečně spojitou hmotu.

A je zásadní, že nová fyzika vznikla právě pochopením, že žádná taková nekonečna neexistují. Rychlost byla omezena rychlostí světla a bylo zjištěno, že kvanta hmoty nejsou nekonečně malá, ale svět je kvantován na úrovni Planckovy konstanty. Je pravděpodobné, že odmítnutím aktuálního nekonečna v matematice, dojde k rozvojíi nových oblastí matematiky. Stará klasická matematika ale nebude zničena, podobně jako Newtonova mechanika stále velmi přesně platí pro malé rychlosti, slabá gravitační pole, a pomocí ní, ne pomocí teorií relativity, se počítají dráhy vesmírných sond a většina dějů na Zemi.
–––––––––––––––––––––––––––-

Jestli vás nekonečno zajímá, můžete zkusit další články na toto téma:
Proč v matematice nekonečno existuje a v realitě nikoliv
Jak vědci (ne)dokázali nekonečnost vesmíru