Zahrajme si takovou hru. Dejte mi nějaké nekonečno a já vám ukážu, že nemůže existovat. Podobnou hru jsem hrál se studenty Matematicko-fyzikální fakulty University Karlovy v Praze, když jsem tam učil.
Teda byla to hra, dejte mi něco absolutního a já vám dokážu, že to nemůže existovat. Nekonečno (to pravé, ne potenciální) je totiž jen jeden z případů něčeho skutečně absolutního. Tuhle hru si chci dnes zahrát s pořadem BBC "Jak velký je vesmír" a předním kosmologem Seanem Carrollem.
V tomto pořadu se totiž uváděla následující úvaha, která byla označena jako důkaz nekonečnosti vesmíru: Ze školy dobře víme, že součet úhlů trojúhelníku je přesně 180 stupňů. To ale platí jen v rovině, která není deformovaná. Pakliže je onen trojúhelník třeba na povrchu Země, tedy na něčem zakřiveném, součet jeho úhlů už není 180 stupňů. Na obrázku níže je jasné, že zvolený trojúhelník (vyznačený červeně) musí mít součet úhlů větší než 180 stupňů, neboť oněch 180 stupňů dávají dohromady už dva úhly na rovníku. A k těmto 180 stupňům musíme připočíst ještě třetí úhel, úhel umístěný na Severním pólu.
Existují i mnohé jiné typy zakřivení, kde může být součet úhlů třeba i menší než oněch 180. Nám ale bude stačit fakt, že pouze u trojúhelníku v dokonale ploché (eukleidovské) rovině je součet úhlů přesně 180 stupňů.
Úvaha uváděná v onom pořadu analyzovala trojúhelník, tvořený dvěma paprsky, které k nám letí ze vzdálenosti přes 13 miliard světelných let. Byly to dva paprsky reliktního záření, to jest záření, které vzniklo poměrně krátce po velkém třesku. Třetí stranu tvořilo místo lokálního zvýšení teploty tohoto záření, neboť jeho teplota není dokonale rovnoměrná. Na mapě níže jsou to červené oblasti. V této úžasně elegantní úvaze vzal Sean jako třetí stranu úsečku, která spojuje nejvzdálenější body jednoho takového červeného "fleku".
Sean uvádí, že s přesností na tři desetinná místa určil, že součet úhlů tohoto trojúhelníku je 180 stupňů. To ale znamená, že úhel může být 180,0005 nebo 179,9995 stupňů a nemusí být přesně 180. Ale i tak Sean dokázal, že je vesmír úžasně obrovský ve srovnání s tou částí o rozměrech 13,7 miliard světelných let, kterou vidíme.
Uvažme, že se na zhruba 14 miliardách světelných let může paprsek zakřivit jen o 0,0005 stupně. A aby byl vesmír (nad)koulí, podobně jako Země, musel by se paprsek vlastně otočit o 360 stupňů (v analogii obkroužit Zemi, nebo by musela čára na Zemi obtočit celou Zemi). Stačí tedy prostá trojčlenka, abychom odhadli nejmenší možnou velikost vesmíru podle tohoto měření:
Nejmenší možná velikost vesmíru = 13,7 miliard světelných let x 360 stupňů / 0,0005 stupně
Výsledek je 986 400 miliard světelných let, tedy vesmír je zřejmě nejméně 72 tisíckrát větší než to, co vidíme. Úžasný výsledek, ne? Úžasná představa. Ale na druhé straně, i kdyby byl vesmír miliardkrát větší než to, co vidíme, tedy měl rozměr 13 700 000 000 miliard světelných let, kolikrát je větší nekonečno? No přece nekonečněkrát.
Carrollův důkaz tedy není ani omylem důkazem nekonečnosti našeho vesmíru, dokonce je od tohoto důkazu nekonečně vzdálen. Můžeme si věc přiblížit tak, že abychom měli z podobného měření jistotu, že je vesmír skutečně nekonečný, museli bychom měřit absolutně přesně, neboli s přesností na nekonečně mnoho desetinných míst. Takové měření je ale absolutně nemožné, neboť každé měření má určitou chybu, která nemůže být nulová. Jiný příklad nedosažitelnosti nekonečna v praxi si můžete přečíst v článku Tajemné nekonečno jednoduše.
Všimněme si, že kdybychom chtěli dokázat nekonečnou velikost vesmíru, museli bychom už mít nekonečnou přesnost měření, tedy něco jiného nekonečného. Je to začarovaný kruh. Abychom dosáhli nějakého nekonečna, už bychom museli mít jiné nekonečno. A protože žádné zatím (v realitě) nemáme, nebudeme ho mít nikdy.
Tohle lze vzít jako axiom nenulové nepřesnosti každého měření, neboť jsme za dobu existence civilizace prováděli takové množství měření, že miliarda je v tomto množství nepatrná. A všechna tato měření vždy měla nenulovou nepřesnost. Ostatně Sean tím, že sdělil přesnost měření na 3 desetinná místa, přiznal možnou chybu o velikosti 0,0005 stupně.
Platí-li axiom nepřesnosti měření (axiom NM), pak z toho ale plyne, že nelze žádným měřením dokázat existenci nekonečnosti čehokoliv v realitě. Žádné měření, žádný praktický důkaz není absolutní, absolutně přesný a absolutně spolehlivý. To by pak ostatně nešel ani zobecnit či jinak zrelativizovat. Představa takového absolutního empirického důkazu je ale nevědecká, neboť takový důkaz by byl nefalzifikovatelný (v Popperově smyslu). Falzifikovatelnost je totiž nutnou podmínkou vědeckosti nejen důkazů, ale jakékoliv teorie, myšlenky či sdělení.
Tím jsme předvedli princip neexistence nekonečna (v realitě), tedy to, že (aktuální) nekonečno není vědecký pojem, ale jen pohádka vzniklá z "náboženského" vytržení plynoucího z neschopnosti lidstva nekonečno pochopit. Nekonečno (v realitě) je jen iracionální emoční představa. Tak prosté chyby v úvahách mohou dělat geniální vědci, když použijí místo racionální úvahy emoční nadšení. (Další rozbor neexistence nekonečna v realitě naleznete třeba v článku Proč je nekonečno pavěda.)
Ve zmíněném pořadu správně uvedli, že nekonečnost vesmíru je nejjednodušší řešení. To mi ale připomnělo aforismus: "Na každou složitou otázku existuje jednoduchá odpověď. Pochopitelně špatná." :-)
————————————————————————————————————
P.S.: V tomto blogu jsme se pro jednoduchost vyhnuli tomu, že ani v matematice neexistuje žádné aktuální nekonečno (např. ani množinu přirozených čísel nelze aktualizovat), jen nekonečna potenciální. Jestli ale někoho toto téma zajímá, může kouknout na článek Nekonečno jako mechanický bůh.
P.P.S.: Uviděli jsme, že pouze součet úhlů trojúhelníků v rovině může být přesně 180 stupňů. To je ale zjednodušení, neboť jestliže se křivost místo od místa mění, může být prostor i prapodivně zakřiven a stále může být součet přesně 180. Tato možnost je ale málo pravděpodobná. Otevírá to nicméně otázku, jestli opravdu mezi námi a oním místem reliktního záření o jiné teplotě, je prostor stále rovnoměrně rovný/křivý, když víme z obecné teorie relativity, že každá těleso prostoročas zakřivuje.
P.P.P.S.: Prapodivné také je, jak dokázal Sean změřit ty dva vzdálené úhly. Asi jen nepřímo ze změření toho úhlu blízkého a předpokladů, jak vypadají ty dva vzdálené. Nepouštěl jsem se ale do tohoto rozboru, neboť mým jediným cílem v tomto blogu bylo předvést, že nekonečno se dokázat nedá.
