Proč v matematice nekonečno existuje a v realitě nikoliv

Vyjde-li v nějaké fyzikální rovnici nekonečno, a?ť už jsou to nekonečně malé rozměry, nekonečné síly nebo cokoliv jiného, fyzici ví, že tam dotyčná rovnice už neplatí. V realitě nekonečno zřejmě neexistuje. Ale co v matematice?

Fyzika ví, že nekonečně malý střed černé díry nebo stejně velký praatom velkého třesku, tzv. singularity, ve skutečnosti nemohou být nekonečně malé, protože v těchto singularitách musí platit také kvantová mechanika. Ta nepřipouští nulové rozměry, protože, jak to vypadá, nejmenší vzdálenost v prostoru je někde kolem Planckovy délky, tedy zhruba 1,6 x 10^-35 metru. To je příklad toho, že nějaké nekonečno, v tomto případě něco nekonečně malého, nemůže v realitě existovat. Tak alespoň singularity pojímají nadějné teorie "všeho" (tedy všeho, co zatím známe) kvantová smyčková gravitace a superstrunová hypotéza.

Uveďme ještě další příklad neexistence nekonečna v realitě. Jsou to nekonečna, která vycházela při výpočtech v kvantové teorii pole. Tzv. renormalizace, která třeba Richardu Feynmanovi umožnila odstranit z výpočtů jeho diagramů nekonečna, vlastně vedla k jeho Nobelově ceně za fyziku. Tato se dají metaforicky přiblížit následujícím příkladem (zdroj [1]):

Vložme pingpongový míček pod vodu a držme jej tam v klidu. Představme si, že je to dokonalý míček, který je tak tenký, že má nulovou hmotnost, prostě nic neváží. Teď jej pusťme. Začne stoupat k hladině působením vztlakové síle. Ať je tato síla jakákoliv, musí míčku udělit okamžitě nekonečnou rychlost a nekonečné zrychlení, pokud jsme řekli, že míček má onu nulovou hmotnost. Newtonův zákon síly totiž vyjadřuje rovnice pro sílu F:

F = m . a

A protože je hmotnost m nulová a síla F není nulová (můžeme si ji třeba položit rovnu jedné) dostaneme rovnici:

1 = 0 . a

pak zrychlení a musí být :

a = 1 / 0 = ?

tedy nekonečno. Je jasné, že nekonečno zde vniklo chybou, neboť pohyb míčku vzbuzuje odpor vody, který působí proti jeho pohybu, a tento odpor jsme opominuli. Tímto odporem se míček chová tak, jako by nějakou hmotnost měl, a proto se nekonečně rychle pohybovat nezačne. A tedy i kdyby míček měl skutečnou hmotnost nulovou, má efektivní hmotnost nenulovou. Efektivní hmotnost tady vlastně není hmotnost onoho míčku, ale jeho zdánlivá hmotnost, způsobená tím, že svou hmotnost (a další vlastnosti) na míček přenáší molekuly vody. (A samozřejmě ani není možné, aby měl míček skutečnou hmotnost nulovou.)

Mimochodem, tenhle příklad krásně ukazuje, jakým způsobem vznikne jakákoliv představa nekonečna v realitě. Je to tak, že člověk situaci příliš zjednoduší a zanedbá reálně fungující faktory (jako zde efektivní hmotnost míčku způsobenou odporem vody a skutečnou hmotnost míčku). Další argumenty pro neexistenci nekonečna v realitě najdete třeba v blogu Nevědecké pohádky moderní vědy I - nekonečno.

Mohli bychom uzavřít, že problém je pouze v tom, že naše modely reálného světa jsou vždy zjednodušené, tedy něco nezanedbatelného pomíjí. Asi to tak je, jenže v tomto závěru je obsaženo ďáblovo kopýtko namířené i proti matematice. Co jiného je totiž matematika, než zjednodušený model světa? Je-li tomu tak, nemělo by pak být nekonečno ani v matematice.

Je matematika opravdu jen zjednodušený popis reálného světa? Když počítáme, že 1 + 1 jsou 2, dobře víme, že za jedničky si můžeme dosadit cokoliv z reálného světa, a že tato rovnice pomíjí jakékoliv další vlastnosti těchto objektů, jež jsou jedničkami zastupovány. Matematická abstrakce tedy zjednodušuje zcela zásadně. Matematika vůbec vznikla proto, že byla prakticky užitečná tím, že kvantitativně popisuje reálný svět, je jeho modelem. Je sice pravda, že některé její disciplíny aktuálně nepopisují nic z reality. Může to být ale jen tím, že matematika předbíhá naše poznání světa, což je právě podstata její užitečnosti. Spočteme-li podle plánu budovy množství materiálu, který bude její stavba vyžadovat, vlastně tu matematika předběhla reálné postavení domu.

Někdy to nevypadá, že by matematika popisovala realitu, protože jí v realitě nic neodpovídá, ale časem se ukáže, že jen předběhla své praktické aplikace. Zajímavým příkladem je tu oblast matematiky zvaná Lieovy grupy. Na nich jejich autor, norský matematik Marius Sophus Lie, pracoval dokonce i ve vězení a vytvořil je jen pro jejich matematickou krásu. Ač tedy vznikly zcela neprakticky, jaksi odtrženy od reality, dnes se používají k modelům reality, konkrétně třeba v mechanice, teorii pole, částicové fyzice nebo teorii relativity. A hlavně matematika převzala z reality její logiku, její zákony. Jedině díky použití těchto z reality zkopírovaných postupů může vytvářet své nové oblastí a disciplíny. Vůči lidským znalostem realita je tak určitě napřed, nicméně vůči realitě samé je značně pozadu a jen objevuje to, co v realitě dávno existuje.

Je ale i jiný důvod, proč silně pochybovat o existenci nekonečna v matematice než jen prohlásit, že matematika je model reality a když není nekonečno v realitě, nemůže být ani v jejím modelu. Stačí si vzít jednoduchý příklad řady přirozených čísel, tedy řady 1, 2, 3, 4 atd. Kolik je těchto přirozených čísel? První prostá odpověď, která se nabízí je, že jich je nekonečně mnoho. Kde má tato řada konec, že? Nikde přece. Jenže zkuste si představit celou tuto nekonečnou řadu? Že to nejde? Že dojdete jen v nějakému velkému číslu? A jak jsme od tohoto obrovského čísla daleko k nekonečnu? Nekonečně daleko. Neudělali jsme ani první krok na cestě k nekonečnu. I když vezmeme nějaké obrovské číslo v této řadě, které připravila matematika, třeba Googol, tedy 10^100, neboli jedničku se sto nulami. I v tomto případě jsme ale od nekonečna nekonečně daleko. Jakékoliv číslo v řadě přirozených čísel je vždy nekonečně daleko od nekonečna, není ani tím nejmenším krokem ke skutečnému nekonečnu. Že je nekonečno v řadě přirozených čísle nedosažitelné si můžeme přečíst třeba v článku geniálního matematika Prof. Vopěnky Neexistence množiny všech přirozených čísel, kde vlastně vysvětluje, že nekonečno není v tomto případě aktualizovatelné, tedy uskutečnitelné.

Matematici uznávají, že nekonečno není z čehokoliv konečného zkonstruovatelné, dosažitelné. Jenže, že ho nemůžeme dosáhnout, řekne si člověk, to ještě neznamená, že neexistuje. (Upřímně řečeno, absolutní nedosažitelnost skutečně znamená, že něco neexistuje, neboť existence je pouze fenomenologická, jevová, ale to už by bylo extrémně náročné téma.) Proto matematici navrhují zavést nekonečno do matematiky jako axiom. Prostě si ho chtějí nadefinovat a dost. Jenže ani to se nepovede.

Snadno si to předvedeme na tom nejprostším případě již zmíněné řady přirozených čísel (to jest celých kladných čísel). Na těchto číslech je definována aritmetika, tedy sčítání, odčítání, násobení a dělení. Jenže aritmetika se hroutí právě když se ji pokusíme použít na nekonečno. Stačí se zeptat, kolik je 0 x  ? nebo analyzovat rovnici ? + 1 = ?. Když v ní odečteme ?, dostaneme 1 = 0, což je evidentně chyba. Aritmetika, která platí pro všechna přirozená čísla, neplatí pro nekonečno, tedy nekonečno nepatří mezi přirozená čísla, a proto je řada přirozených čísel vždy konečná. Můžeme ji vždy "protahovat", ale vždy bude poslední číslo, které budeme mít, konečné, a bude nekonečně vzdáleno od nekonečna. Řada přirozených čísle je jen potenciálně "nekonečná", tedy vždy je konečná, ale nemá pevnou hranici, pevný konec, takže jej vždy můžeme posunout. Její konec je dynamický. Důkladněji můžete tuto záležitost analyzovat v blogu Nekonečno jako mechanický bůh. A podobné neřešitelné rozpory nekonečno vytvoří v matematice všude, kde se ho pokusíme uvažovat.

Závěr je tedy zřejmý. Nekonečno neexistuje nejen v realitě, ale neexistuje ani v matematice. Jeho představa v matematice je jen chybné zjednodušení situace. Je to podobná situace jako byla s nebeskými tělesy, která si lidé před Galileem představovali jako dokonalá, přímo matematicky dokonalá, jako hladké koule, které obíhají bez ztrát energie, jako něco absolutního. Galileo začal chápat, když pozoroval hory a údolí na Měsíci (a další nebeská tělesa), že ani nebeská tělesa nejsou ideální, ale ideální je jen naše zjednodušená představa o nich. Stejně tak dokonalá matematika přestává být v případě nekonečna dokonalá, když se na ni podíváme drobnohledem svého rozumu. Tedy řekneme-li nekonečno, je to pouze zjednodušené zobrazení něčeho sice obrovského, co přesahuje naše možnosti uchopení, ale vždy něčeho konečného.

[1] Brauer T.: Moderní formulace teorie renormalizace a její použití ve fyzice částic, diplomová práce Ústavu teoretické fyziky MFF UK Praha, 2002
[2] Vopěnka P.: Neexistence množiny všech přirozených čísel, časopis Vesmír č.6/2015