Kterak Bolzano ukázal, že nekonečno neexistuje
Bude asi překvapení, že v Bolzanově knize Paradoxy nekonečna lze najít také pasáže, které existenci nekonečných množin vyvracejí. Nejdřív ale vysvětleme, co se míní v matematice nekonečnem. Myslí se tzv. aktuální tedy uskutečněné, dalo by se říci ukončené nekonečno. V protikladu k němu stojí potenciální "nekonečno", které se chápe jako dynamická, vždy konečná hodnota, která ale může být kdykoliv zvětšena. V případě potenciálního "nekonečna" jsme slovo nekonečno uvedli v závorce, protože se liší od intuitivně chápaného nekonečna, kterým je to aktuální. Vlastně to "pravé" nekonečno není, když je vždy konečné, že.
Potenciální "nekonečno" si můžeme vyložit na příkladu prvočísel. Vždy známe jedno konkrétní prvočíslo, které je v danou chvíli poslední, největší, ale vždy budeme moci později najít větší. Nikdy nenalezneme všechna, dokonce budeme provždy mít přesně 0% ze všech možných prvočísel. A aktuálně nekonečně mnoho bychom jich měli, kdybychom už teď měli všechna, nejen oněch 0%. Tak matematici budou alespoň tvrdit, že všechna už v současnosti existují, což je ovšem jen iluze. Stačí se zeptat kde existují, aby byla jasná iluzornost této existence. Odpovědí totiž je typicky, že ve vědomí Boha.
Zásadní proti argument proti nekonečnu je už titul Bolzanovy knihy, který zni Paradoxy nekonečna. Bolzano nezakrývá, že aktuální nekonečno je sporný pojem. Což ovšem znamená, že v matematice nemůže existovat, protože podmínkou existence v matematice je bezespornost. Na protikladnost aktuálního nekonečna je v jeho knize několikrát upozorněno. To by samo o sobě mohlo stačit. Jak je nekonečno sporné je průhledné: Pro všechna konečná čísla a množiny platí, že jejich část je menší než celek. Máme-li 5 jablek, jsou 3 z nich méně než 5. Vlastně je tvrzení, že část je vždy menší než celek i jeden z Euklidových axiomů.
U nekonečných množin a čísel to neplatí. Máme-li třeba úsečku o délce 12 cm, obsahuje stejně nekonečně mnoho bodů jako úsečka o délce 5 cm. Když k této pěticentimetrové úsečce přidáme sedmicentimetrovou, opět s nekonečnem bodů, dostaneme právě úsečku o 12 cm. Je jasné, že tady aritmetika funguje, protože 5 + 7 = 12. Aritmetika ale nefunguje u počtu bodů, když děláme tu chybu, že si naivně myslíme, že jich je skutečně nekonečně mnoho. Pak totiž v našem případě dostaneme vztah:
? bodů (5cm úsečky) + ? bodů (7cm úsečky) = ? bodů (12cm úsečky),, tedy
? + ? = ?
Z toho je patrné, že takové nekonečno má jaksi proměnlivou a tím neurčitou velikost (matematici říkají mohutnost či kardinalitu). Současně má libovolné množství různých velikostí, což je nesmysl. Aritmetika se zhroutila. Kdybychom totiž výše uvedenou rovnici napsali pomocí neznámých, dostali bychom:
x + x = x tedy 2x = x,
což je splněno jen pro nulu, ale ne pro jakoukoliv nenulovou hodnotu. Je-li x nenulové, můžeme jím totiž rovnici dělit a dostaneme nesmysl 2 = 1. Je opravdu s podivem, jak takový naivní omyl, tedy aktuální nekonečno může být v matematice tolerováno. Ale jeden z důvodů tu je, a to že se naprosto vždy kolem motá Bůh, který byl i důvodem pro zavedení aktuálního nekonečna. Vypadá to, že aktuální nekonečno je tak v podstatě vítězství iracionální víry nad rozumnou úvahou. Nekonečno je taková matematická esoterika.
A je pěkné, že když chce Bolzano ve své knize racionálně obránit existenci aktuálního nekonečna, sklouzne k tomu, že argumentuje pro existenci jeho opaku, potenciálního "nekonečna". Argumentuje, že dvě nekonečna nemusí být stejně velká takto: Nutnost stejné velikosti množiny A "odpadá, jakmile je množina věcí v A nekonečná; neboť nyní nejenže nikdy nedospějeme my počítající k poslední věci v A, nýbrž podle výkladu nekonečné množiny neexistuje ani o sobě a pro sebe žádná taková poslední věc v A."
Jistě správný argument, smůla je ale v tom, že se opírá "nekonečno" potenciální ne aktuální. A u něj je pochopitelně rozmanitost jeho velikostí nerozporná: Dnes máme nějaké největší prvočíslo a všechna před ním. Za deset let k nim přibude několik dalších. Tedy potenciální "nekonečno" prvočísel z dneška + pár dalších = potenciální "nekonečno" prvočísel, což už je jiná hodnota.
Takže stačí pozorně čísl Bolzana, aby bylo jasné, že logika vylučuje existenci aktuálního nekonečna. Proč je ale teorie množin s aktuálním nekonečnem tak úspěšná? Je úspěšná proto, že sice říká, že pracuje s aktuálním nekonečnem, ale vlastně s ním nepracuje a používá de facto jen "nekonečno" potenciální. A iluze, že je používáno aktuální nekonečno je přitažlivá jako každá nesrozumitelnost. Ty v nás vzbuzují pocit tajemna a "náboženského" uvytržení, kterého se nechceme zbavit. Správné řešení je příliš nezajímavé, viz třeba řešení Hilbertova nekonečného hotelu, který v Hilbertově pojetí velmi připomíná počítání, kolik andělů se vejde na špičku jehly.
A za slávou nekonečna také stojí úspěch teorie množin. Metaforou tu může být třeba sláva syna nějaké slavné osoby. Onen syn nemusí stát za nic, ale je slavný kvůli otci. Matematici trvají na existenci nekonečna, ale netuší, jaké bohatství se za jeho překonáním skrývá. To zde mluvíme nestandardní analýze. Z nekonečna, které tak trochu omylem v minulém století otevřelo matematikům oči, se dnes už staly klapky na očích.
Jan Fikáček, Ph.D.
Kolik váží informace
Fyzika je obor mnohdy tajemný. Opačná představa, že je to v podstatě zcela vysvětlená záležitost, která převládala kolem roku 1900, se velmi brzy ukázala mylnou jako máloco. Způsobí zahrnutí informace do fyziky další revoluci?
Jan Fikáček, Ph.D.
Jaký je seriál Netflixu Problém tří těles
Moc se i líbila grafika seriálu Problém tří těles, možná i proto, že někdy v devadesátých letech jsem na UK v Praze přednášel, že takhle nějak bude vypadat pokročilá virtuální realita. Ale co děj seriálu?
Jan Fikáček, Ph.D.
Není náhodou matematika poněkud subjektivní?
Ne, nebudeme pochybovat o tom, že je 1+1=2 platí. Kdyby byla matematika jen subjektivní, nefungovala by v realitě a proto by neexistovala. Nicméně, v každém matematické operaci je nenulový díl subjektivního.
Jan Fikáček, Ph.D.
Fake news o historii vztahu Izrael-Palestina
To hlavní z historie oblasti najdete v minulém blogu, který překvapivě zařadila do „Zaujalo nás“ redakce blogů iDnes. Dnes uvedeme na pravou míru některé pomýlené pověsti o této oblasti a nahradíme je historickými fakty.
Jan Fikáček, Ph.D.
Proč jsou izraelská média daleko méně proizraelská než česká?
A nejde jen o izraelská média. USA jsou přece dlouholetý a věrný spojenec Izraele, ale ani ony nestojí teď vždy na straně Izraele. Proč? Proč se snaží válečné tažení Izraele brzdit a volají po příměří?
Další články autora |
Brutální útok nožem v Mannheimu, policista po něm bojuje o život
Šest lidí v pátek utrpělo zranění při útoku nožem na náměstí v centru německého Mannheimu, uvedla...
Policie zabavila 300 milionů na nákup vojenského materiálu pro Ukrajinu
Premium Česká policie v tichosti řeší třaskavý případ, který může mít negativní dopad na zbrojní obchody...
Povodně zpustošily západní Čechy. Zasahovaly vrtulníky, sesuv zastavil trať
Části Česka o víkendu zasáhly bouřky provázené místy silným deštěm. Zejména na jihozápadě Čech...
Turek pod tlakem. Promazal sítě, ruší debaty. Zdviženou pravici řeší policie
Lídr kandidátky Přísahy a Motoristů sobě Filip Turek se nezúčastní posledních debat před...
Zelenskému se hroutí mírový summit. Spojenectví s USA dostává trhliny
Nedorazí ani Číňané, ani Saúdové. Z očekávaného mírového summitu ve Švýcarsku se omluvilo několik...
Izraelci osvobodili čtyři rukojmí z festivalu. Zároveň přesouvají vězněné Palestince
Izraelská armáda osvobodila čtyři živé rukojmí z centrální části Pásma Gazy. Informují o tom...
Nic neumí, to je máme poslat na smrt? Ukrajinští velitelé si stěžují na posily
Ukrajinští velitelé si stěžují na nízkou kvalitu nových posil přivolaných z týlu. Podle nich mají...
Nepřeje si mír, kritizuje Fico Západ. Čaputová nečeká zásadní změny priorit EU
Slovenský premiér Robert Fico využil sobotní volby do Evropského parlamentu (EP) ke kritice...
Většinu území večer a v noci zasáhnou bouřky, hrozí kroupy a silný vítr
Většinu území České republiky zasáhnou v sobotu večer a v první polovině noci na neděli velmi silné...
- Počet článků 314
- Celková karma 25,74
- Průměrná čtenost 3115x
Chcete-li sledovat diskuse v "jeho" skupině, připojte se do Vědecké filosofie & Fyziky (nejen). jfikacek@gmail.com
Upozornění: Toto je popularizační blog pro veřejnost, neberte ho tedy jako vědeckou dizertační práci. Někdy je to jen divoká fantazie. Na druhé straně se snaží udržovat jistou vědeckou kvalitu, takže "esoterické" komentáře nejsou vítány. P.S.: Osobně útočné a odborně velmi nekvalitní komentáře, zejména velmi dlouhé, budou mazány.