Bernard Bolzano bývá označován za toho myslitele, který jako první hovořil o nekonečných množinách v matematice. Ty rozpracoval a do matematiky zavedl i na základě Bolzanových úvah Georges Cantor ve své naivní teorii množin.
Bude asi překvapení, že v Bolzanově knize Paradoxy nekonečna lze najít také pasáže, které existenci nekonečných množin vyvracejí. Nejdřív ale vysvětleme, co se míní v matematice nekonečnem. Myslí se tzv. aktuální tedy uskutečněné, dalo by se říci ukončené nekonečno. V protikladu k němu stojí potenciální "nekonečno", které se chápe jako dynamická, vždy konečná hodnota, která ale může být kdykoliv zvětšena. V případě potenciálního "nekonečna" jsme slovo nekonečno uvedli v závorce, protože se liší od intuitivně chápaného nekonečna, kterým je to aktuální. Vlastně to "pravé" nekonečno není, když je vždy konečné, že.
Potenciální "nekonečno" si můžeme vyložit na příkladu prvočísel. Vždy známe jedno konkrétní prvočíslo, které je v danou chvíli poslední, největší, ale vždy budeme moci později najít větší. Nikdy nenalezneme všechna, dokonce budeme provždy mít přesně 0% ze všech možných prvočísel. A aktuálně nekonečně mnoho bychom jich měli, kdybychom už teď měli všechna, nejen oněch 0%. Tak matematici budou alespoň tvrdit, že všechna už v současnosti existují, což je ovšem jen iluze. Stačí se zeptat kde existují, aby byla jasná iluzornost této existence. Odpovědí totiž je typicky, že ve vědomí Boha.
Zásadní proti argument proti nekonečnu je už titul Bolzanovy knihy, který zni Paradoxy nekonečna. Bolzano nezakrývá, že aktuální nekonečno je sporný pojem. Což ovšem znamená, že v matematice nemůže existovat, protože podmínkou existence v matematice je bezespornost. Na protikladnost aktuálního nekonečna je v jeho knize několikrát upozorněno. To by samo o sobě mohlo stačit. Jak je nekonečno sporné je průhledné: Pro všechna konečná čísla a množiny platí, že jejich část je menší než celek. Máme-li 5 jablek, jsou 3 z nich méně než 5. Vlastně je tvrzení, že část je vždy menší než celek i jeden z Euklidových axiomů.
U nekonečných množin a čísel to neplatí. Máme-li třeba úsečku o délce 12 cm, obsahuje stejně nekonečně mnoho bodů jako úsečka o délce 5 cm. Když k této pěticentimetrové úsečce přidáme sedmicentimetrovou, opět s nekonečnem bodů, dostaneme právě úsečku o 12 cm. Je jasné, že tady aritmetika funguje, protože 5 + 7 = 12. Aritmetika ale nefunguje u počtu bodů, když děláme tu chybu, že si naivně myslíme, že jich je skutečně nekonečně mnoho. Pak totiž v našem případě dostaneme vztah:
? bodů (5cm úsečky) + ? bodů (7cm úsečky) = ? bodů (12cm úsečky),, tedy
? + ? = ?
Z toho je patrné, že takové nekonečno má jaksi proměnlivou a tím neurčitou velikost (matematici říkají mohutnost či kardinalitu). Současně má libovolné množství různých velikostí, což je nesmysl. Aritmetika se zhroutila. Kdybychom totiž výše uvedenou rovnici napsali pomocí neznámých, dostali bychom:
x + x = x tedy 2x = x,
což je splněno jen pro nulu, ale ne pro jakoukoliv nenulovou hodnotu. Je-li x nenulové, můžeme jím totiž rovnici dělit a dostaneme nesmysl 2 = 1. Je opravdu s podivem, jak takový naivní omyl, tedy aktuální nekonečno může být v matematice tolerováno. Ale jeden z důvodů tu je, a to že se naprosto vždy kolem motá Bůh, který byl i důvodem pro zavedení aktuálního nekonečna. Vypadá to, že aktuální nekonečno je tak v podstatě vítězství iracionální víry nad rozumnou úvahou. Nekonečno je taková matematická esoterika.
A je pěkné, že když chce Bolzano ve své knize racionálně obránit existenci aktuálního nekonečna, sklouzne k tomu, že argumentuje pro existenci jeho opaku, potenciálního "nekonečna". Argumentuje, že dvě nekonečna nemusí být stejně velká takto: Nutnost stejné velikosti množiny A "odpadá, jakmile je množina věcí v A nekonečná; neboť nyní nejenže nikdy nedospějeme my počítající k poslední věci v A, nýbrž podle výkladu nekonečné množiny neexistuje ani o sobě a pro sebe žádná taková poslední věc v A."
Jistě správný argument, smůla je ale v tom, že se opírá "nekonečno" potenciální ne aktuální. A u něj je pochopitelně rozmanitost jeho velikostí nerozporná: Dnes máme nějaké největší prvočíslo a všechna před ním. Za deset let k nim přibude několik dalších. Tedy potenciální "nekonečno" prvočísel z dneška + pár dalších = potenciální "nekonečno" prvočísel, což už je jiná hodnota.
Takže stačí pozorně čísl Bolzana, aby bylo jasné, že logika vylučuje existenci aktuálního nekonečna. Proč je ale teorie množin s aktuálním nekonečnem tak úspěšná? Je úspěšná proto, že sice říká, že pracuje s aktuálním nekonečnem, ale vlastně s ním nepracuje a používá de facto jen "nekonečno" potenciální. A iluze, že je používáno aktuální nekonečno je přitažlivá jako každá nesrozumitelnost. Ty v nás vzbuzují pocit tajemna a "náboženského" uvytržení, kterého se nechceme zbavit. Správné řešení je příliš nezajímavé, viz třeba řešení Hilbertova nekonečného hotelu, který v Hilbertově pojetí velmi připomíná počítání, kolik andělů se vejde na špičku jehly.
A za slávou nekonečna také stojí úspěch teorie množin. Metaforou tu může být třeba sláva syna nějaké slavné osoby. Onen syn nemusí stát za nic, ale je slavný kvůli otci. Matematici trvají na existenci nekonečna, ale netuší, jaké bohatství se za jeho překonáním skrývá. To zde mluvíme nestandardní analýze. Z nekonečna, které tak trochu omylem v minulém století otevřelo matematikům oči, se dnes už staly klapky na očích.
