Kulatý čtverec existuje! Víte kde?

Kulatý čtverec, přesněji dokonale kulatý čtverec, který je v Eukleidovské rovině vlastně kružnicí, skutečně nemůže existovat, i když je to jen abstrakce. To je přece jasné, ne? Ale kdepak, může a matematika na to "nestačí".

Možnost existence kulatého čtverce vyžaduje nejdříve malý výklad. Máme vlastně tři oblasti, ve kterých můžeme problém analyzovat. První je skutečnost, realita. Nakreslit takový kulatý čtverec, nebo najít tento tvar na nějakém reálném předmětu, nemůžeme. Druhá oblast je matematická abstrakce. Ani tam není kulatý čtverec možný, protože spojuje dva objekty, kružnici a čtverec, které si odporují. Mimochodem, je to i proto, že také matematická abstrakce je znázornění, "kresba" (snažíme si představit geometricky, jak by kulatý čtverec vypadal). A nebo máme rovnice pro tyto geometrické objekty, tedy algoritmy, které jsou návodem na jejich konstrukci, byť myšlenou. Takže ani matematika nemá daleko v realitě v tom smyslu, že je vlastně (v tomto případě) jen zjednodušeným modelem reálných objektů, třeba kresby.

Přesto kulatý čtverec existuje .... jako slovní obrat, tedy v (třetí) oblasti, kde neplatí "žádná" pravidla. Tak můžeme vytvořit spojení jako absolutně suchá voda, (dokonale) tekutý bagr, úplná přesnost nebo nekonečná tyč. Tuto třetí oblast bychom mohli nazvat třeba "uměleckou" zónou bez pravidel, je to nevědecká sféra. Jakmile ale chceme popisovat svět kolem nás, musíme zohlednit zmíněná pravidla a zákonitosti. A to, co jim odporuje, to ve vědecké oblasti neexistuje. Platí to i pro matematiku. Logicky sporné objekty tam existovat nemohou. (Mimochodem, upřesnili jsme, že jde o kulatý čtverec v Eukleidovské rovině proto, protože v dobře pokřivené geometrii, jejíž křivost se třeba mění od místa k místu, by kulatý čtverec zřejmě přece jen šel realizovat.)

Proč jsme ale zmínili také (absolutní) přesnost jako nesmyslný a ve vědě neexistující pojem? Je to proto, že je to logicky rozporná představa, v praxi nerealizovatelná. Každé měření má nenulovou chybu, jak nám říká tisíciletá zkušenost. Dokonce bychom mohli formulovat axiom neexistence přesnosti. Když si představíme už jen tak prostou věc, jako je měření délky skříně metrem, je jasné, že označení jednotlivých centimetrů a milimetrů na našem měřidle, ony rysky, mají nenulovou tloušťku. Jinak bychom je nemohli ani vidět. Tloušťka použitých čar určuje míru nepřesnosti měření. A měřený předmět může také končit kdesi mezi milimetrovými ryskami, kde můžeme hodnotu nanejvýš odhadnout, ale ne změřit.

Řekli jsme ale, že je pojem absolutní přesnost logicky sporný. Proč by měl takový být? Stačí trochu více zapřemýšlet nad oněmi ryskami. Abychom dosáhli úplné přesnosti měření, museli bychom mít měřítko rozděleno na nekonečně mnoho dílků. Pomineme to, že to neumožňuje atomová struktura měřítka či Heisenbergovy principy neurčitosti, kdybychom šli ještě více do hloubky. Zůstaňme ale jen na abstraktní úrovni, když jde o tu logiku. Z nulových částí nelze sestavit jakýkoliv nenulový úsek. Absolutní přesnost tedy nemůže existovat, pokud tedy zůstáváme u racionálního myšlení a nepohybujeme se v oné třetí, umělecké oblasti.

Jak je ale možné, že ve vědě o přesnosti mluvíme, když je to jen chiméra. Je to prosté. Tak jako je u uvažovaného měřidla v realitě omezená přesnost vlastně způsobena omezenou rozlišovací schopností našeho vnímání (kterou mohou přístroje sice zlepšit, ale nikdy ne tak, že bychom viděli nulové délky), tak i v případě pojmu přesnost jde jen o nenulovou nepřesnost, která je ale tak malá, že ji nevnímáme. Prof. Vopěnka by řekl, že je tak malá, že se propadla za horizont našeho vidění a chyba takového měření se nám jeví jako nulová, i když nulová není. Absolutní přesnost je jen iluze, ale v běžném uvažování neuděláme chybu, když ve zjednodušení budeme mluvit o přesnosti, ne jen o menší nepřesnosti. Když se nám malá nepřesnost jeví jako nulová, neudělali jsme na oné jevové úrovni přece žádnou chybu. Ba navíc jsme si situaci zjednodušili, což může uvažování zefektivnit. V jiných případech ale, jdeme-li na podstatu věci, zase takové zjednodušení vytvoří neřešitelné problémy. Poznamenejme, že v principu postačuje k úvahám jen rozdíl přesností: Máme jedno měření a pak druhé a to druhé je přesnější, než první a hned máme pojem relativní přesnosti.

To řeší spor mezi Hegel a Kantem. Cituji z posudku k mé obhájené PhD disertační práce: "Pokud jsme ale nepřesnost měření ověřili empiricky, je třeba se konsekventně ptát, odkud se bere koncept přesnosti, bez nějž vlastně nejde o nepřesnosti vůbec hovořit. Tvrdit, že se jedná o ideální, a tedy neexistující konstrukt, nepomáhá, protože pak by byl ideální a neexistující i jeho protějšek, který je na pojmu přesnosti, resp. jejímu nedostání, založen." Tento citát parafrázuje Hegelův argument proti Kantovi. Ale z výše uvedeného výkladu je nám už jasné, že přesnost je více idealizovaný pojem než nepřesnost, existující pouze jako logicky nekonzistentní zkratka v třetí "říši" volné fabulace. Je to jak prakticky tak logicky nedosažitelný ideál, ideál neexistující v první a druhé říši, říši reality a vědecké abstrakce, který je doma jen v říši iluzí. Přesto, když nezkoumáme hlouběji, se logické rozpory pojmu přesnost nepromítnou destruktivně do vědeckého uvažování, takže je lze použít.

Takových, vlastně nesmyslných, přesto efektivních zjednodušeních máme hodně. Vezměme třeba Newtonův absolutní prostor a čas. Jako absolutní entity by měly být absolutně dělitelné na nulové (absolutně tedy nekonečně malé) "dílky", což dnes vylučují Heisenbergovy relace neurčitosti. Podle nich bychom pro určení nulové vzdálenosti potřebovali nekonečný impuls, tedy vlastně nekonečnou energii a totéž pro nulový úsek času. Nekonečnou energii opravdu nelze realizovat. Přes nemožnost absolutního prostoru a času a jejich logickou rozpornost, to byla zkratka, která umožnila vytvořit velmi efektivní, protože zjednodušený model fyzikálního světa. Dokonce to bylo právě kvůli nesprávnosti takového zjednodušení. Existuje složitější model, speciální teorie relativity a ještě složitější, obecná teorie relativity, kde je rychlost (lokálně) omezena rychlostí světla. Ale ty požívat na Zemi, kde jsou rychlosti velmi malé ve srovnání s rychlostí světla, je zbytečně komplikované.

A když jsme už u toho nekonečna, aktuální nekonečno je také taková iluze, logicky nekonzistentní pojem. Iluze ale přece jen v abstrakci existují. Přesnost, setrvačnost, kulatý čtverec a nekonečno jsou abstrakce téhož nevědeckého typu. Za vědecké lze považovat tyto logicky nekonzistentní pojmy pouze tehdy, když je chápeme jako chybné, přesto však do značné míry funkční zjednodušení, které si je vědomo vlastní překonatelnosti. A pokud ona logická nekonzistence nezasahuje příliš rušivě do struktury teorie, v níž je použita. To je rozdíl mezi kulatým čtvercem, jehož nekonzistence je v podstatě ústředního pojmu, o kterém se uvažuje, a nekonečné množiny, kde je ústředním pojmem např. právě množina nikoliv nekonečno. O neexistenci nekonečna, o kterém byla vlastně zmíněná disertace, se můžete dočíst třeba v níže uvedených blozích. Mimochodem, už různé typy abstraktního nekonečna v matematice naznačují, že nejde o nepřekonatelný, absolutní pojem. Složitost, která byla zjednodušením aktuálního nekonečna zatlačena za horizont, vystrkuje růžky.

Nekonečno je "koneckonců" velmi užitečné, i když neexistuje :-)Kde končí nekonečnoNekonečno jako mechanický bůhProč v matematice nekonečno existuje a v realitě nikolivNevědecké pohádky moderní vědy I - nekonečnoProč je nekonečno pavědaJsme mrchožrouti nekonečnaChcete Nobelovu cenu? Najděte nějaké nekonečno a odstraňte ho!Tajemné nekonečno jednoduše (1)Tajemné nekonečno jednoduše (2)Tajemné nekonečno jednoduše (3)Je vesmír nekonečný?Jak vědci (ne)dokázali nekonečnost vesmíruNeexistuje číslo pí a jsou hranice Česka nekonečné, jak tvrdí ekonom Tomáš Sedláček?