Tajemné nekonečno jednoduše (3)

Podíváme se dnes na jeden ze "svatých obrázků" matematiky, nekonečný Hilbertův hotel. Je to přece tak tajemné, že když je nekonečný hotel plně obsazen a přijde nekonečně nových hostů, že se noví hosté mohou všichni ubytovat.

Jaké je Hilbertovo řešení plně obsazeného nekonečného hotelu, když se tam má ubytovat nekonečno nových hostů? Prosté. Každý ze starých hostů se přestěhuje do pokoje, jehož číslo je dvojnásobkem čísla, ve kterém bydlel:

Tedy, host z pokoje č.1 půjde do pokoje č.2, host z pokoje č.2, půjde do pokoje č.4, z pokoje 3 půjde do čísla 6, z pokoje 111 do 222. Prostě ti staří se přesunou do pokojů 2,4,6,8,10...., tedy do sudých pokojů a ty liché, kterých je stejně jako sudých, tedy nekonečně, jsou k dispozici pro nové hosty.

Jaké je skutečné řešení? Princip neexistence nekonečna, který jsme si nastínili minule, tvrdí, že (aktuální) nekonečno neexistuje. Co však může existovat, je něco konečného, co se v danou chvíli tváří jako nekonečno. Je to něco moc velkého, na konec čehož nedohlédneme.
V tomto případě si můžeme představit, že zaměstnanci hotelu vědí jen o první patře hotelu a nevšimli si, že mezitím bylo přistavěno např. 2., 3., 4. a 5. patro, to je tedy nad jejich chápání. Když přijde už o jednoho hosta víc, než odpovídá plnému 1. patru, může být ubytován, a recepce hotelu uvidí zázrak, že se do plného hotelu ubytuje ještě někdo další a bude mít vlastní pokoj. A pak další a další, až recepční začnou mít dojem, že je hotel skutečně nekonečný. Ubytují, řekněme, tolik lidí, že mají 2 patra hotelu plná. Mají plný "nekonečný" hotel.
A když si představíme, že máme partu lidí, kteří podle potřeby kdykoliv přistaví libovolný kus hotelu, máme prakticky hotel nekonečný. A když přijede autobus nekonečně mnoha lidmi. To už víme: je jich jen tolik, že je to nad naše chápání, nikoliv nekonečně. Takže je není problém ubytovat. :-)

Odkaz na  Hilbertův nekonečný hotel.