Nekonečno je pro mnohé synonymem špičkové vědy a zároveň tajemnosti. V mnohém směru právem, protože zavedení nekonečna do matematiky způsobilo její bouřlivý rozvoj. A představa nekonečného vesmír také povznáší naši představivost.
Když Giordano Bruno prohlašoval, že je vesmír nekonečný a obsahuje nekonečno sluncí (rozuměj hvězd) a nekonečno Zemí (rozuměj planet), byl za to upálen. Byl upálen také za "ateismus" přesněji panteismus, ten se ale dal v jeho době považovat za ateismus, protože ztotožňoval boha s přírodou. Jeho představa nekonečného vesmíru překonávala omezené chápání Země jako středu vesmíru s lampičkami, hvězdami na báni. (Podrobněji viz Wiki.)
Představa nekonečného vesmíru byla falsifikací, popření geocentrického názoru a otevírala nové obzory lidskému uvažování. Rozhodně lze tvrdit, že byla budoucností, zatímco Zem jako střed světa minulostí. Tuto budoucnost ukázal Galileo svým pozorováním planet a měsíců svým dalekohledem, a to už 10 let po Brunově smrti. Viděl, že Měsíc a planety nejsou ideální nebeská tělesa, ale že se podobají Zemi svou nedokonalostí.
Progresivnost nekonečna se ukázala silně i v matematice. Zatímco vlastně celou historii si matematici mysleli, že je nekonečno nesmysl, což se hodně opíralo o Galileův důkaz sporem, v roce 1900 nastal průlom. Prosadila se Cantorova teorie množin obsahující axiom nekonečné množiny. Je nám jasné, že část nějakého celku je vždy menší než onen celek (a je to dokonce jeden z Euklidových axiom), Cantor ale definoval nekonečnou množinu jako takovou, jejíž část může být stejně velká jako celek. Např. ? /2=?. A tím začal obrovský rozvoj nejen teorie množin, ale i velké části matematiky. Řečeno slovy geniálního Prof. Vopěnky: "V tomto ... světě matematiky 20. století ... bylo mnoho krásného a důmyslného vykonáno." Nekonečno v matematice bylo v roce 1900 i později jednoznačně budoucnost.
Zjednodušeně se to dá ukázat třeba na přirozených číslech, tedy 1, 2, 3 ... atd. Klasická matematika má za to, že takovýchto celých kladných čísel je (aktuálně) nekonečně mnoho. Krásné, že? Jenže je zvláštní, že my jich nikdy nekonečně mít nebudeme. Už v té řadě výše jsme napsali jen pár z nich a pak se zbytek této množiny ponořil do neznáma, tedy tří teček a onoho atd. Můžeme sice psát tuto řadu dál, ale vždy se někdy zastavíme. Můžeme použít daleko rychlejší počítač, ale i ten má konečnou rychlost výpočtu a uskuteční vždy jen konečný počet těchto čísel. Šokující je, že je přesně 0% z jejich nekonečné množiny. K nekonečnu bychom tedy neudělali ani ten nejmenší krok, i kdybychom nechali nejrychlejší počítač tuto řadu vytvářet miliardy let. Nehnuli bychom se vlastně z místa a byli bychom stále stejně, tedy nekonečně vzdáleni od nekonečna, jako kdybychom napsali jen 1, 2, 3. Marná sysifovská snaha.
Nicméně, dnes je klasická matematika, která pracuje s aktuálním nekonečnem hlavním proudem neboli mainstreamem. Je-li ale něco mainstream, je to široce přijato, už je to v podstatě minulost. Minulá budoucnost je prostě minulost. Paralelou k tomu může být teorie relativity. Na začátku 20.století to byla budoucnost fyziky, dnes ale už vyhlížíme kvantovou gravitaci. Určitě je v klasické matematice dost co "dotahovat", ale revoluční budoucnost to už dávno není. Budoucností v matematice se začíná jevit od šedesátých let přístup, který aktuální nekonečno popírá a považuje ho za nudnou idealizaci, kterou je třeba překonat, falsifikovat. Vypadá to, že je třeba např. připustit, že vždy bude existovat jen potenciálně "nekonečně" mnoho přirozených čísel. Neboli, vždy jich bude konečně mnoho, jen ten konec bude možné vždy posunout, je dynamický, vlastně žádný pevný není, což je zřejmě původní význam složeniny ne-konec = nekonečno. Nekonečno bude tedy vždy překvapivě konečné. :-)
S tímto potenciálním "nekonečnem" jsme získali dynamiku, což je ve velkém kontrastu s (aktuálním) nekonečnem, což je jedna velká ztuhlost. Vlastně je to svým způsobem pevný a definitivní konec. Ztuhlost ale nepřipouští vývoj, tedy budoucnost. Takového nekonečno je dnes už spíše minulostí a to, co otevírá budoucnost, je "nekonečno" potenciální. Aktuální nekonečno nevidí za horizont a naivně si domýšlí, že je tam vše pořád stejné. To je tak trochu, jako bychom předpokládali, že všechny planety budou stejné jako Zem, zatímco některé jsou přitom složené z diamantů, na jiných prší tekuté železo nebo tam není tekutá voda, ale tekutý metan.
V případě matematiky je např. u zmíněných přirozených čísel za horizontem leccos v mnohém jinak. Když označíme řadu 1, 2, 3 ... atd. za standardní přirozená čísla, zahrneme do nich všechna čísla, na které kdy pomyslel nějaký člověk či byla uskutečněna v počítači apod. Představme si největší z nich a označme ho jako M (Maximum). A teď uvažme číslo větší než M a označme si ho třeba Z (Za maximem). Z bylo vybráno náhodně, proto není znám rozdíl Z-M, tedy jejich vzdálenost. Zatímco M je konkrétní číslo, které je (bylo) někde zapsáno v číselné podobě z cifer, Z nebylo nikdy takto zapsáno, je to tedy neznámá. Kolem čísla Z můžeme sčítáním a odčítáním (např. +1, +2, +3...atd.) vytvořit množinu přirozených čísel, pro které platí algebra, tedy jsou to plnoprávná přirozená čísla. Nebyla ale nikdy uskutečněna v oné číselné podobě. Množina všech přirozených čísel se rozpadla na dvě množiny (můžeme si je označit jako M a Z), jejichž vzdálenost neznáme. Už v tuto chvíli přestala množina všech přirozených čísel existovat, neboť se rozpadla na dva nesouvisející kusy, což odporuje definici množiny. Hlavně ale nebylo realizováno jediné číslo mezi těmito dvěma množinami. Je tam díra. Samozřejmě můžeme stejným postupem vytvořit třetí množinu kolem čísla Y, která bude o neznámou hodnotu větší než Z, atd. Takže původní množina se rozpadla na potenciálně "nekonečně" mnoho množin nestandardních přirozených čísel a jednu množinu standardních, mezi nimiž je potenciálně "nekonečně" mnoho děr.
Tuto složitost matematiky pracující s klasickým nekonečnem nevidí. Ony ty kusy se navíc liší svou podstatou, což je také pro aktuální nekonečno neviditelné. Zatímco standardní přirozená čísla jsou číselné hodnoty zapsané v cifrách, nestandardní přirozená čísla jsou složeny z neznámých, jejich hodnotu neumíme vyčíslit. Jejich hodnota zmizela v neurčitosti za horizontem našich znalostí.
Někdy je slyšet, že odmítání aktuálního nekonečna je jen nedostatek představivosti. Jenže po tomto výkladu to vypadá, že spíše aktuální nekonečno je nedostatek představivosti. Stereotypní opakování téhož je přece spíše konec fantazie, kdežto nalezení nových odlišných struktur za horizontem, nalezení této nové barvitosti, je vítězstvím představivosti. Aktuální nekonečno je, zdá se, jen iluze, zjednodušení skutečnosti (v matematice) a teď už je potřeba jít dál, nacházet nové barvitosti nové matematiky.
A teď uveďme výše uvedený citát Prof. Vopěnky v plné znění a bez teček: "V tomto pojednání je zřetelně vysloveno to, co od šedesátých let 20. století mnozí matematikové podvědomě cítili, ale obávali se vynést na světlo. Totiž že obor všech přirozených čísel není aktualizovatelný, následkem čehož množina všech přirozených čísel neexistuje. Tato skutečnost odsunuje celý svět klasické infinitní množinové matematiky, založený právě na existenci množiny všech přirozených čísel, mezi pouhé iluze. V tomto iluzorním světě matematiky 20. století však bylo mnoho krásného a důmyslného vykonáno...".
Jak je však možné, že v matematice s aktuálním nekonečnem bylo mnoho dobrého vykonáno, když takové nekonečno neexistuje? Takového nekonečno je zjednodušením skutečnosti, logicky nekonzistentním zjednodušením, viz všechny ty paradoxy nekonečna. A logicky rozporné objekty v matematice nemohou existovat. Chyba této idealizace nebyla ovšem většinou tak rušivá, aby zbortila matematické úvahy. A velkým kladem bylo samo toto zjednodušení, které umožnilo vystavět zjednodušenou, stále však velmi funkční matematiku.
Pro lepší pochopení si vezměme příklad z fyziky. Newton vystavěl zjednodušenou fyziku tak, že neuvažoval relativistické změny vlastností (času a prostoru, atd.) a kvantování světa. Zavedl zjednodušení absolutního (nekonečného) a nekonečně dělitelného prostoru a absolutního (nekonečného) času. V něm byla možná nekonečná rychlost. Toto zjednodušené řešení umožnilo vystavět fyziku už v té době. Newton se svými znalosti nemohl zvládnout teorie relativity a kvantovou mechaniku. Nelogičnosti se udržely v nerušivé pozici blízko horizontu. Chvála zjednodušení! Kdyby se Newton pokoušel třeba o kvantovou mechaniku, nepovedlo by se mu to a nevznikla by ani klasická fyzika. Stejně se to má dnes i s matematikou. Ta klasická je jako Newtonova fyzika, ta nestandardní je jako kvantová mechanika a teorie relativity. Klasická je zjednodušená minulost.
Ještě jedna námitka zní nejednou ze strany nějakého matematika, a to antropocentrismus potenciálního "nekonečna". Tak jako Giordano Bruno navrhl pohled, který nebyl závislý na lidském pohledu ze Země, vidící naši planetu a podstatně méně její okolí, stejně vidí matematici aktuální nekonečno jako pohled do dáli. A omezení konečnosti lidské mysli a našich přístrojů považují za matematice vnější, neprincipiální. Neuvědomují si ale, že práce uvažují antropocentricky, spíše ale matematiko-centricky. Jejich pohled je uvězněn v matematice, coby speciální disciplíně, a ignorují zbytek světa. Ona konečnost všech přístrojů a naší mysli je skutečně nematematická, nicméně absolutně neodstranitelná. Matematický úhel pohledu tady nestačí.
Ostatně, když si upřesníme oč jde kolem existence nekonečna v matematice, stane se zcela zřejmým, že tato otázka je svou podstatou mimo matematiku. Jde tu totiž o existenci absolutní abstrakce, ale matematika neřeší a tedy neví, co je to existence, co je to absolutní, ani co je to abstrakce. Zůstat proto u matematického pohledu je hrubý matematiko-centrismus, tedy omezený úhel pohledu. Matematika může být královnou všech věd, zejména pro svou exaktnost, i když takové tvrzení by vyvolalo hádku mezi fyziky a matematiky, ale stejně neumí řešit všechny otázky a právě tuto ne. Nekonečno tím, že nevidí onu barvitost nestandardní matematiky, je silně antropocentrický pojem. Místo skutečně existujících složitých struktur vidí v podstatě stále totéž, co každý člověk počítající 1, 2, 3, 4, 5. atd.
