Cesta do hlubin fraktálovy duše VI

Pokračování seriálu o fraktálech. Dnes se podíváme, jak vybrat z Mandelbrotovy množiny parametry tak, aby příslušná Juliova množina byla co nejzajímavější.

V předchozích dílech jsme se naučili opakovaně dosazovat do kvadratické (a obecně nelineární) rovnice ve dvou proměnných a podle chování tohoto procesu obarvovat body v rovině. Ta nelineární rovnice má dvojici parametrů a mapou jejich chování je tzv. Mandelbrotova množina (na prvním obrázku je vyznačena černou barvou). Každý bod z této množiny si můžete představit jako dvojici čísel (souřadnice toho bodu) a ta představuje parametry pro analýzu chování počátečních podmínek. Tak vznikne tzv. Juliova množina (viz první a druhá část této série).

Dnes se podíváme jak výběr tohoto bodu určuje charakter Juliovy množiny.

Všeobecně platí, že čím blíže jsme k hranici, tím je Juliova množina zajímavější. Aby to bylo jasnější, nakreslíme si Mandelbrotovu množinu (zde pro polynom čtvrtého stupně) a podél její hranice si vybereme tři přechodové oblasti (budu jim říkat oblast A, B a C). Pak si pro každou oblast uděláme výřez (abychom lépe viděli na detaily) a v tom výřezu si zvolíme posloupnost bodů, která tou hranicí prochází. Ty body budou vyznačeny zeleně. Nakonec Vám pro každý bod (tedy dvojici parametrů) vytvořím příslušnou Juliovu množinu a výsledné obrázky naskládám pod ten výřez, abyste si mohli udělat vlastní názor, ve které části Mandelbrotovy množiny se dají najít ty najatraktivnější parametry.

Pro všechny Juliovy množiny níže budu používat stejnou barevnou stupnici, tedy černou pro body, kde opakované dosazení (iterace), nikdy neopustí malé hodnoty (dané nějakým předem zvoleným kruhem kolem počátku), červenou pro body, kdy je k jejich opuštění potřeba značné množství iterací a zelenou pro body, kdy těch iterací stačí jen pár (a čím méně, tím je zelená tmavší). Výřezy z Mandelbrotovy množiny budou mít stejnou barevnou škálu jako originál.

Detail oblasti A

Na tomto obrázku se skupina bodů A1 až A9 přesune z hlavního "moře" Mandelbrotovy množiny do jednoho z jeho "zálivů". Všimněte si, že v okamžiku kdy s parametry (zde zelenými bodíky) přejíždíte ten oddělující jazyk, tak ta černá část Juliovy množiny úplně vymizí. A čím jste dále od "moře", tím méně iterací potřebujete, takže Juliova množina je méně a méně červená. Kdybyste z bodu A5 vyrazili na jihovýchod, tak by nakonec zmizela i ta červená část. Jinak jste-li v hlavní části Mandelbrotova "moře" (bod A1) je Juliova množina celistvá, zatímco v "zálivech" je rozdrobená (bod A9). A jak již bylo řečeno, čím blíž jste k pobřeží, tím je obrázek zajímavější.

Detail oblasti B

Tady je až do bodu B5 celkem podobný vývoj jako v předchozí sekvenci. Přiblížením parametrů k hranici se černá část Juliovy množiny ztenčí a s přechodem na "pevninu" úplně vymizí. V bodě B5 bychom mohli pokračovat směrem severozápadním a množina by postupně ztrácela svou červenost. To by ale nebylo příliš zajímavé. Proto jsem využil skutečnost, že nablízku je jeden z odlehlých zálivů a posadil jsem do něj bod B6. Jak jsme viděli výše, v těch zálivech se Juliova množina drobí a tady je to záliv zálivu, takže rozdrobení je ještě výraznější. No a pak jsem zamířil k severu, takže opět vidíme postupný zánik černé masy a posléze i červených tónů, což znamená, že k opuštění malých hodnot potřebujeme jen pár iterací. Bod B8 jsem vybral tak, že sedí na jednom z těch černých "semínek", proto má i jeho Juliova množina stále pár černých oblastí.

Detail oblasti C

Na této sekvenci je zajímavý bod C3, kde vidíte, že ta černá část se nerozdrobí rovnoměrně, ale že je rozežrána několika vybíhajícími jazyky. Něco podobného jsme viděli už v minulých vydáních. Taky si všimněte, že v okamžiku, kdy ta černá část zmizí, tak ta červená si v podstatě pamatuje, kde byla a víceméně ji kopíruje. To je proto, že největšího počet iterací (nejčervenější tóny) je potřeba tam, kde bývalo (pro malinko jinou hodnotu parametrů) nutno "použít" nekonečně mnoho iterací (tedy to černé moře). Je to vlastně důsledek spojitosti celého procesu.

Závěrem se nabízí otázka, kde se ta nepřeberná rozmanitost tvarů a konfigurací vlastně bere. Koneckonců kvadratické (a obecně polynomiální) rovnice nejsou zase tak komplikované objekty. Odpověď je, že ta rozmanitost je zakódovaná přímo do struktury číselné osy (kterou v rovině používáme jako souřadnice). Desetinná čísla v ní neplavou jen tak nahodile, ale podléhají velmi rigidní (a také samopodobné) struktuře, která je za fraktálovou zahrádku zodpovědná. Každý parametr (desetinné číslo) má v té struktuře jedinečnou pozici a ta určuje, jak bude fraktál tímto parametrem určený vypadat.

Abychom to lépe viděli, budeme si na strukturu číselné osy muset trochu posvítit. A tomu budou věnována příští tři Matykání.

Pár větších obrázků je ke stažení zde.

Související články:

Cesta do hlubin fraktálovy dušeCesta do hlubin fraktálovy duše IICesta do hlubin fraktálovy duše IIICesta do hlubin fraktálovy duše IVCesta do hlubin fraktálovy duše V