Hlubiny študákovy duše – písemka z matematiky 1939 – prezidentští kandidáti v roce 2017

Včerejší den se týkal studentů, televize Nova tedy měla o nich klasický film z roku 1939. Zajímalo mne, jaké příklady měli septimáni na závěrečnou písemku z matematiky. A co ty příklady vypovídají o úrovni vzdělanosti tehdy a dnes

Bez zvláštního soustředění při sledování filmu se dalo postřehnout, že písemka se psala 15. 5. 1939. Tedy dostatečně včas, aby pan profesor Jaroslav Marvan stačil vše opravit ještě dost v předstihu před červnovou konferencí.

Důležitější než den a měsíc je však rok té písemky. Rok 1939. Dá se říci, že československý stát a tedy i náš národ byl právě tehdy na vrcholu vzdělanosti celé své historie.  Zbývalo totiž ještě půl roku do říjnových a listopadových událostí 1939 a do první velké Hitlerovy decimace národní inteligence zavřením vysokých škol.

Brzy pak přišla decimace Gottwaldova (1948 a násl.), pak Husákova (1970 a násl.). A občas mi připadá, že by nebylo od věci přidat ještě decimaci dnešní, decimaci multikulturně-neziskovsky-genderově-humanitně bruselskou, která i dnes tak trochu nutí intelektuální elitu naší země odejít pracovat a žít jinam – do Austrálie, Singapuru, snad stále ještě do USA...

Co měli tedy budoucí maturanti na písemku v květnu 1939? A dokázal bych to já, hrdý na své matematické vzdělání, i dnes, desítky let po maturitě a promoci, z fleku spočítat?

Z televizní obrazovky jsem při mnohem větší soustředěnosti vypozoroval toto zadání tří příkladů:

1. Určete typ kuželosečky: 2x2 - 4xy - 6y2 + 7x + 1 = 0
2. Určete vrcholy a obsah čtverce opsaného elipse 4x2 + 5y2 + 16x - 30y + 41 = 0
3. Jaká je pravděpodobnost, že osoba 40letá se dožije 60ti let?

Začněme dumat nad řešením od třetího příkladu; ten je nejjednodušší, záchranný; pro zoufalce, kteří potřebují za matematiky prolézt aspoň „za čtverec“.

Ad 3)

 Jde o podmíněnou pravděpodobnost, že „osoba se dožije šedesáti let za podmínky, že se již dožila čtyřiceti let“. I desetiletému děcku je snad jasné, že pravděpodobnost čyřicátníka, že se dožije šedesáti, je vyšší než pravděpodobnosti novorozence, že se dožije šedesáti. Označme si tedy

jev A – novorozenec se dožije věku šedesáti let,

jev B - novorozenec se dožije věku čtyřiceti let.

Museli bychom nahlédnout do statistik toho kterého státu. Je zřejmé, že jev B má pravděpodobnost vyšší, tedy blíže k jedné, než jev A.

Nasadíme vzoreček známý každému pozornému gymnazistovi nejpozději ze třetího ročníku:

P (A/B) = P (A ? B) / P(B)

Slovy: Pravděpodobnost jevu A podmíněného jevem B je zlomek, kdy v čitateli je pravděpodobnost uskutečnění se průniku jevů A a B – a ve jmenovateli pravděpodobnost uskutečnění se jevu B. No a protože každý, kdo se dožil šedesáti, se zároveň nutně dožil i čtyřiceti, pak

P (A ? B) = P(A)

a tedy

P (A/B) = P (A) / P(B)

Pokud v písemce není konkrétně podle statistik zadáno P (A) a P(B), tak odpovíme slovně.

Sláva, už nemůžeme propadnout, nejméně známka za čtyři z písemky je jistá.

Ad 1)

toto se jeví jako druhý nejlehčí příklad. Konkrétní rovnici kuželosečky

2x2 - 4xy - 6y2 + 7x + 1 = 0

 můžeme též vyjádřit obecně takto:

F(x, y) = a11 x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0.

Odsud porovnáním dostaneme konkrétní číselné hodnoty a11 = 2, a12 = -2, a22 = -6, a13 = 3.5, a23 = 0, a33 = 1.

A můžeme sestavit „velký“ determinant  ? o třech řádcích a třech sloupcích. Šest hodnot do něj již máme, další tři dodáme z pravidla, že a?? = a??.

 2    -2    3.5

-2   -6     0

3.5   0    1

Také můžeme sestavit „malý“ determinant ? o dvou řádcích a dvou sloupcích. Tři hodnoty máme, čtvrtou opět doplníme podle pravidla a?? = a??.

 2    -2

-2    -6

Spočítáme hodnoty obou determinantů (kdo z lidí, kteří mají maturitu, by to neuměl, že?). A vyjde, že  ? je různé od nuly.

Tedy kuželosečka není degenerovaná.

Dále výpočtem „malého“ determinantu vyjde ? je menší než nula.

Tedy kuželosečka je hyperbolou.

Sláva, už máme z písemky lepší trojku, tedy dvě mínus. Na vyznamenání na gymnazijním vysvědčení to ještě stačit nebude, ale poctivý „člověk s maturitou“ z třicátých let 20. století už z nás bude.

Ad 2)

Toto považuji za nejtěžší případ písemky zadané študákům končící septimy profesorem matematiky Jaroslavem Marvanem.

S pokorou přiznávám, že z fleku bych jej nezvládl. Předpokládám, že daná elipsa má své poloosy rovnoběžné s osami kartézské soustavy x,y. Souřadnice středu této elipsy bych podle vzorečku ještě zvládl: S = (-2; 3), leží tedy ve druhém (= „severozápadním“) kvadrantu kartézské soustavy x, y.

Opsaný čtverec, tj. čtverec opsaný elipse, to není žádná triviální záležitost.

Jo takhle opsaný obdélník, to by ještě šlo – viz obrázek:

Elipse opsaný čtverec je ovšem  náročnější věc - musí totiž být stranami otočen o 45 stupňů – viz další obrázek:

Takže bych nejspíše musel elipsu transformovat, tedy přesunout tak, aby jej střed byl v bodě (0;0)
kartézské soustavy x,y. Pak aspoň u jedné ze stran čtverce určit bod dotyku s elipsou (strana čtverce je v tomto bodě tečnou). Znám směrnici každé strany čtverce – dvakrát je rovná jedné, dvakrát je rovna minus jedné. Znám i jeden konkrétní bod každé takovéto úsečky. Umím ji tak přesně určit jejich analytické rovnice v rovině x, y. Umím určit jejich průsečíky s osami x, y – tedy vrcholy čtverce. Umím určit jejich délky. A z nich pak už snadno vypočtu obsah čtverce.

Nakonec přemístím elipsu i s opsaným čtvercem ze středu S = (0;0) do původního středu S = (-2;3) a mám vrcholy toho opsaného čtverce. Jejich x-ová souřadnice je vždy o 2 menší a y-ová souřadnice o 3 větší než když byla elipsa svý středem v nulovém bodě kartézské soustavy x, y. A když vrcholy čtverce A, B, C, D měly vždy jednu souřadnici nulovou.

Takže – postup řešení druhého Marvanova příkladu bych také znal, jen na konkrétní výpočet bych si musel – asi hodinku – něco nastudovat z literatury. Na písemku bych tedy nejspíše dostal dvojku – pro mne docela ošklivou matematickou známku.

Jistě by mnohé šlo řešit elegantněji – ale to nejspíše z fleku umějí jen matfyzáci, čerství absolventi matematického učitelství a technických vysokých škol, tedy ti z nich, kteří se s takovými oblastmi matematiky setkávají i ve své praxi.

Vydrželi jste, přátelé, dočíst až sem? Nebo aspoň přeskočit matematický řešící úsek textu až sem?

Teď už se vynořují otázky více společenské a politické než matematické:

Každý občan naší země, který se honosí maturitou, by toto měl podle mne aspoň na trojku zvládnout. Omlouvám samozřejmě ty, kteří jsou výjimečně dobří až výjimečně velmi dobří v jiné klíčové oblasti života. Omlouvám samozřejmě výkonné umělce. Omlouvám šikovné řemeslníky všeho druhu - od instalatérů po kuchaře. Omlouvám prostě všechny ty, kteří by na hnidopišké zesměšňovací výtky autora tohoto článku o neznalosti matematiky dovedli stejně jednoznačně toho autora usadit v jiné oblasti, která je ovšem pro život klíčová.

Rozhodně však neomlouvám ty, kteří nás všechny tak nějak chtějí reprezentovat (nebo poučovat, soudit) obecně. Kteří by měli mít všeobecný přehled a rozhled obecně. Včetně přehledu v klíčovém umění ukázněně férově bez výmluv a podvodů myslet.

Neměl by toto aspoň na trojku umět z fleku spočítat například každý současný prezidentský kandidát? Umění matematiky je umění logicky myslet, umění ukáznit se, umění přijmout společná objektivní vědecká pravidla, neutíkat před nimi, nesnažit se je obejít, ošulit, oj-bat. Zvládnutá matematika coby nepodplatitelný příznak kázně, disciplíny, poctivosti toho kterého člověka.

A doplňkově – matematika jako příznak opačných vlastností u lidí, kteří své neznalosti matematiky prskavě zlehčují pomocí nejapných výmluv.

Neměl by toto umět aspoň na trojku spočítat ministr školství, všichni jeho náměstci, všichni vedoucí odborů z tohoto malostranského paláce? Plus totéž na všech dalších ministerstvech? Každý poslanec dolní i horní komory parlamentu?

A pochopitelně úplně na prvním místě – každý, kdo se dá na ctihodné povolání „lektor osobního rozvoje“? Osobní rozvoj ve smyslu duševním je přece samou svou podstatou především rozvojem umění myslet; a až z toho lepšího umění myslet vyplývají dílčí dovednosti jako rychločtení, lepší paměť a koncentrace, time management, zvládání prokrastinace, komunikační dovednosti, asertivita a mnohé jiné.

Ale kdo těm adeptům na ctihodná místa v čele našeho státu příklady takového typu zadá a zkontroluje jejich řešení? Snad statečný investigativní novinář? Haha, ukažte mi takového, který se nepodělá už jen z pouhého pojmu „determinant“.

Váháte, koho zvolit tam či onam do dobře placené reprezentativní státní funkce? Váháte, kým se nechat poučovat na témata, co udělat se svým životem? Přiložte k jeho mozku neoblafnutelné testovací měřítko matematiky – aspoň té výše uvedené středoškolské předmaturitní – a máte jasno. Osoba se vybarví.

Závěr je smutný. Dnes všude kolem sebe vidíme, jak hluboko jsme po historických intelektuálních decimacích od roku 1939 klesli. Před pár dny jsem poslouchal krátké řeči té zhruba desítky kandidátů na českého prezidenta. Měli projevit jen kus znalosti českého jazyka, tedy něčeho intelektuálně tisíckrát snadnějšího, než je výše uvedený kousek matematiky. A dva z nich nedokázali říci těch svých pár vět bez hrubých chyb, hrubých prohřešků proti správnému spisovnému českému jazyku. Neznalost? Lemplovská neúcta ke společně oficiálně přijatým pravidlům? Lokálpatriotická krátkozraká zabedněnost typu „jak se mluví v hospodě v našem městě, tak se přece musí mluvit v celé zemi“?

Ale služební limuzínu by chtěli...

Kampak na takové machříky s kuželosečkami a s podmíněnou pravděpodobností...

P. S.: Pár hodin po vyjití článku mi někdo z čtenářů dal tip, ať se podívám na příklady pro SOUČASNOU státní maturitu z matematiky. Ne nějaká obyčejná čtvrtletní písemka ve třeťáku (= septima), ale něco mnohem rigoróznějšího  - tedy nic menšího než MATURITA. No - to byl tedy šok! To jsou snad přijímačky do mateřské školy!