Řeší kapka vody Zenonovy paradoxy letícího šípu a želvy, aneb je pohyb jen iluze?

Skoro každý asi zná Zenonův paradox želvy, který popisuje, že rychlý běžec nikdy nemůže dohodit pomalou želvu, neboť když běžec doběhne na místo, kde byla před chvílí želva, želva už je o kus dál, a to se opakuje do nekonečna.

Zdálo by se, že řešením paradoxu rychlého běžce Achilla a pomalé želvy může být kvantování prostoru, neboli fakt, že prostor zřejmě nelze dělit do nekonečna. To proto, že Planckova délka, tedy asi 1,6 x 10^-35 metru, je zřejmě nejmenší prostorová vzdálenost a prostor nelze už dělit na menší porce.

Když nad tím začneme přemýšlet, tak to asi absolutní (pro všechny věky platné) řešení nebude, neboť sice v prostoru je pohyb nejpozději na Planckových délkách kvantován, nicméně že je mezi dvěma kvanty zcela diskrétní skok bude pravda velice těžko. Můžeme si vše představit třeba na kapání kapek vody. Jednotlivé pády kapek, jednotlivé kapky jsou sice diskrétní, v obvyklém lidském pohledu dokonce zcela diskrétní, ale dnes už z fyziky víme, že se jedna kapka vytváří postupným přísunem pro lidský zrak neviditelných molekul vody. Představa, že existují jen diskrétní polohy a pohyb mezi nimi není je logicky nesmyslná. Jako by se bez pohybu něco mohlo dostat z jedné polohy do druhé. Bez pohybu by zůstalo na věky v původní poloze. Zkuste si představit přesun kapky vody z jednoho místa na druhé bez jakéhokoliv pohybu. Co ji tam přesune? To, že zavřeme oči a uvidíme jen původní polohu a závěrečnou kapky neznamená, že mezi tím pohyb neexistoval.

Jde tedy analogicky uvážit, že i Planckovy délky se mimo zrak současné fyziky skládají z menších kvant, o jejichž existenci zatím ani netušíme. Nebudou to ale kvanta prostoru, stejně jako jedna molekula nemá vlastnosti tekuté vody a vlastnosti vody vytvoří až velké množství molekul. (Připomeňme si, že kvantování v případě prostoru není tak prosté, jako u kapek, vody, neboť je spíše integrálně kvantován hmoto-prostoro-čas, neboť rozměr Planckovy konstanty, tohoto "symbolu" kvantování je kg.m^2s^-1.) Hlavním argumentem tedy je, že bez pohybu není možné přemístit něco z jednoho kvanta prostoru do druhého.

Toto pojetí "spojité" struktury kvant prostoru by podporovala i aktuální představa, že prostor je vlastně vytvořen ze sítě kvantové provázanosti, která se nutně kvantování Planckovou konstantou "vyhýbá", třeba už proto, že se provázanost šíří "okamžitě", tedy jevově nadsvětelnou rychlostí. Je tedy zřejmé, že kvantování prostoru Planckovými délkami není definitivním řešením. Na druhé straně je dobré si uvědomit, že pokusy o absolutní řešení jsou nesmyslem, neboť jak naše vnímání, tak naše uvažování je pouze relativní a konečné. To v tomto případě to znamená, že jediné pro nás v tuto chvíli dostupné řešení je právě zůstat na úrovni Planckovy délky. Dál prostě nevidíme a není ani vědecké nepodloženě spekulovat "do nekonečna", neboť čím dále extrapolujeme, tím větší je pravděpodobnost chyby. Extrapolujeme-li do nekonečna, jak se pokoušel Zenon, máme jistotu chyby stoprocentní. Zenonovy aporie jsou tedy špatnými nesmyslnými úvahami a je s podivem, kolik lidí obloudí.

Tedy problém želvy máme na úrovni současných znalostí vyřešen: želva může dělat jen diskrétní skoky, takže když naše dělení pohybu dojde do úrovně, že je běžec dvě Planckovy délky za želvou a skočí tyto dvě délky na místo, kde byla želva, může se želva posunout jen o jednu Planckovu délku. To proto, že má menší rychlost než běžec a jediným řešením při její menší rychlosti je v této situaci rychlost poloviční (želva je navíc ještě pomalejší). Další krok v analýze dělení je tedy, že se běžec se posune o jednu Planckovu délku. Kdyby totéž udělala želva, měla by v danou chvíli stejnou rychlost jako běžec. Protože je ale pomalejší, musí v podstatě zůstat na místě a "počkat" na běžce. To znamená, že ji běžec dožene a stejnou analýzou kvantování zjistíme, že ji musí i předběhnout, neboť by opět musela mít želva stejnou rychlost jako běžec, aby jí neunikl.

Zenonovi nelze vyčítat toto uvažování vzhledem k době, kdy žil, ale dnes už bychom v takovémto mechanickém uvažování osvíceneckého neměli uvíznout. Za viditelnými kvanty se skrývá spojitý pohyb mezi nimi. Tím padá i naivní představa neexistence pohybu na základě Zenonových paradoxů, neboť je jasné, že se mezi dvěma polohami (želvy či běžce) nelze dostat jinak než pohybem, třebaže pro nás skrytým. Pokaždé jsou tam dvě polohy, mezi nimiž musím existující pohyb odmyslet, aby nám vyšlo, že tam pohyb neexistuje.

Nesprávná je argumentace na Wiki, kde se píše: "Paradox chybně předpokládá, že uběhnutí nekonečného počtu dílčích úseků vyžaduje také nekonečný čas. Pokud se čas potřebný k uběhnutí těchto dílčích úseků zmenšuje, může být celkový čas konečný. Nekonečná posloupnost dílčích přesunů o 100/2n konverguje k nule a její součet je 100 m." Ta je totiž jen povrchní aproximací situace, kdy kvanta jsou tak malá, že se nám jeví jako neexistující, nulová. Ale i toto zjednodušení postačuje, aby výsledek vyšel správně. Ani matematika nesčítá nekonečně malé úseky, když se důkladně podíváme na základy diferenciálního počtu. Sčítá jen tak malé nenulové úseky, že jejich velikost "propadne za náš horizont", jak by řekl geniální Prof. Vopěnka. Mít nulové rozměry, by znamenalo neexistovat, a proto, jestliže nějaká délka existuje, nutně se skládá z nenulových "dílků".

Na lidské úrovni se zdá, že je to totéž, jestli se se nějaký úsek skládá z nekonečna nulových dílků nebo z konečného počtu malých dílků, které jsou tak malé, že je nemůžeme registrovat. Představa nekonečného množství nulových dílků je ale logicky nesmyslná a je to spíš povrchní pohodlná filosofie některých matematiků, kteří pro řešení matematických problémů nemusí jít do hloubky k základům matematiky a nemusí analyzovat logickou konzistenci jejích základů. Velikáni matematiky však často věděli, že představa nekonečna či bodu nulových rozměrů je pouze zkratka tam, kde už není nutné uvažovat hlouběji, stejně jako zedník nepotřebuje meditovat nad materiálem cihly a stačí mu, když je z nich schopen postavit dům.

Nicméně představa absolutní spojitosti, tedy že se něco skládá z nekonečna bodů nulových rozměrů, je relativně přiměřené zjednodušení, a tak součet nekonečné řady dává správný výsledek, i když ve skutečnosti žádná nekonečná řada neexistuje. Ale stejně relativně správně (a tedy i nenulově chybné) je popsané řešení kvantováním na Planckově úrovni. Kvantum je také je zjednodušená představa, jak bylo vyloženo na začátku, i když zde zřejmě přiměřenější, kvůli aktuální poloze našeho noetického horizontu. Nikdy neexistuje žádné absolutně správné řešení, pouze řešení přibližná, která se liší od skutečnosti tak málo, že ten rozdíl nevidíme.