Jak se klepe pes? Záleží na poloměru.

Pes vyleze z rybníka a oklepe se. Umí si spočítat, jak rychle se má vrtět a oklepávat, aby vodu vycákal?

Všichni jsme to už viděli. Pes, který nejspíš sloužil panu Čechurovi jako prototyp titulní postavy večerníčku Maxipes Fík, vyskočí z rybníka na břeh, s dobráckým výrazem se zapře do země, a kdo má všech pět pohromadě, uteče dřív, než to tele náležitě skropí vše, co je na dosah. Pejsek si počíná mazaně. Torzními kmity uvádí části svého trupu do kruhového pohybu a odstředivá síla už se sama postará o to, aby kapky vody opustily srst a začaly studit někde jinde a někoho jiného. Jak rychle se má zvíře klepat, to je námětem tohoto článku.

Nebudeme napínat, začneme hned řešením. Frekvence kmitů, tedy kolikrát za sekundu by se pes otočil kolem dokola, kdyby nestřídal kmity tam a nazpátek, je nepřímo úměrná jeho hmotnosti. Jinými slovy, čím menší pes, tím rychlejší oklepávání. Platí to nejen pro psy, ale zdá se, že pro všechny ochlupené savce. Nejpomaleji se oklepávají medvědi a ovce, asi 4x za sekundu. Na druhou stranu, drobné myši se oklepávají na akustických frekvencích - 30x za sekundu, což by se už dalo slyšet. Těžší savci již nebývají ochlupení, zda se oklepávali mamuti, není známo.

Úkolem výzkumného týmu z Atlanty bylo určit, jak přesně frekvence oklepávání na hmotnosti závisí. Bylo třeba nejprve spočítat a později měřením ověřit, jak rychle se musí zvíře vrtět, aby odstředivé zrychlení na povrchu trupu přemohlo kapilární síly srsti a kapky odletěly. Výpočet ukázal, že frekvence je nepřímo úměrná šestnácté odmocnině a třetí mocnině frekvence. Jinak řečeno, hmotnost musíme umocnit na třetí, a pak udělat šestnáctou odmocninu. Protože je závislost nepřímo úměrná, zajímá nás převrácená hodnota. Učeně, v matematické zkratce, se dá těchto mnoho slov zapsat jednoduchým předpisem: 

f ∼ m^-3/16

znak ∼ čteme jako 'je úměrné; lze si místo něj představit i rovnítko, pokud budeme jednu stranu urputně násobit patřičnou konstantou

f ... frekvence,  m ... hmotnost; záporné znaménko v exponentu vyjadřuje nepřímou úměrnost, číslo v čitateli mocninu, číslo ve jmenovateli odmocninu

Odvození tohoto vzorce není zcela triviální, můžeme si však naznačit jiný postup, který lze udělat víceméně zpaměti a vede k podobnému výsledku. Nebude zohledňovat všechny jevy, které se při procesu uplatňují, proto se bude exponent lišit asi o dvě setiny, nicméně je to hodnota, která nás může uspokojit.

Vyjdeme ze vztahu pro odstředivé zrychlení: a ∼ f2 r, kde r je poloměr psa. Otázka je, co přesně považovat za poloměr. Badatelé z Atlanty dopočítávali poloměr zvířete z obvodu jeho hrudníku. Ne vždy se jim povedlo zjistit hodnotu s dostatečnou přesností. Konkrétně u tygra se odvážili zkoumat  jeho poloměr jenom z bezpečí vážního domku, na displeji venkovní váhy.

Toto vypočítané zrychlení je úměrné síle, která musí být přinejmenším rovna kapilárním silám držícím kapku v srsti. To je hodnota, kterou změříme nebo najdeme v tabulkách, a předpokládáme, že je pro všechna zvířata víceméně stejná. Máme tedy vyhráno, vztah si přepíšeme do tvaru (a protože je zrychlení 'a' konstantní a jde nám jen o úměrnost, nahradíme ho jedničkou) f2 ∼ 1 / r, nebo f ∼ √(1 / r). Převedeno do exponenciálního tvaru (nepřímá úměra se v exponentu projeví jako mínus, odmocnina jako polovina): f ∼ r^-1/2.

To moc nepřipomíná původní vztah. Je to proto, že v něm byla uvedena závislost frekvence na hmotnosti, ale zde je závislost na poloměru. To se dá však snadno ošetřit. Vyjdeme ze zjednodušujícího předpokladu, že jsou si všechna zvířata podobná, a že mají podobnou hustotu. Snadno lze ukázat, že poloměr je úměrný třetí odmocnině objemu, při konstantní hustotě zároveň třetí odmocnině hmotnosti, tedy:  f ∼ m^1/3.

Teď už stačí dát jen oba vztahy dohromady:  f ∼ (m^1/3)^-1/2. Po sloučení exponentů:  f ∼ m^-1/6 (v tomto případě se exponenty slučují tak, že se vynásobí; 1/3x1/2=1/6).

Náš výpočet se od exaktního příliš nevzdálil. Vidíme, že oba vztahy jsou ve stejném tvaru a hodnoty exponentu se příliš neliší (3/16=0.19; 1/6=0.17). Ze skutečného měření vyplynula hodnota 0.22, což je v dobré shodě s předpokladem. Odchylky jsou způsobeny tím, že zvířata se přece jen liší tvarem, jejich srst neváže vodu vždy stejně silně, a nakonec také záleží na způsobu oklepávání.

A k čemu je takový výzkum dobrý? Po pravdě řečeno, zde slouží jen k pobavení vědců. Jedním dechem však třeba dodat, že za každým vědcem číhá několik techniků čekajících, co z těch jeho her vypadne, a přemýšlí, jak efekt uplatnit v průmyslu. Pozdě si konstruktéři uvědomili, že kdyby byly solární panely marsovských vozítek schopné zbavit se oklepáním prachu, vydržely by zásobovat přístroje po delší dobu. Příští mise možná budou mít něco takového zabudováno, příslušné výpočty půjde snadno přizpůsobit. Ale nemusíme chodit tak daleko. Není žádné tajemství, že senzory digitálních fotoaparátů jsou citlivé na prach. Ofukování je z různých důvodů neúčinné. Když se ovšem čidlo včas důkladně oklepe...

A jak to vypadá, když se do toho takový pes pustí... Malá zvířata kmitají rychle, velká pomaleji.