Poloměr křivky dané implicitně

Nedávno jsem do jednoho programu potřeboval počítat poloměr křivosti i křivky dané implicitně. Slídil jsem po netu, ale kýžený vzorec jsem nenalezl. Musel jsem ho odvodit a tak si ho sem pro jistotu zapíšu, kdybych to ještě někdy potřeboval.

Nechť je dána křivka implicitně rovnicí f(x, y) = 0, kde f je funkce spojitá v obou proměnných x a y má spojité derivace až do řádu 2. Pak poloměr křivosti r v bodě křivky (x, y) je dán vzorcem:

kde f_x a f_y značí parciální derivace vzhledem k x a y. f_xx, f_yy a f_xy jsou parciální derivace druhého řádu.

Pokud navíc označíme:

pak pro střed křivosti s platí:

Důkaz není těžký, je jen trochu dlouhý a psát ho tady v html asi nemá cenu. Můžeme ale zkusit příklad.

Najděte poloměry křivosti elipsy (x/a)² + (y/b)² = 1 v bodech (a, 0) a (0, b). Parciální derivace jsou:

f_x = 2x/a²
f_y = 2y/b²
f_xx = 2/a²
f_yy = 2/b²
f_xy = 0

Pro r pak platí:

r = (4((x/a²)² + (y/b²)²))^3/2/(8((x/a)² + (y/b)²)/(ab)²)

Výraz ve jmenovateli za "osmičkou" je ovšem z definice elipsy roven jedné, tedy:

r = (ab)²((x/a²)² + (y/b²)²)^3/2

Pro bod (a, 0) je tedy poloměr roven b²/a, pro bod (0, b) je roven a²/b. Pro a = b = R, tedy pro kruh o poloměru R je poloměr křivost v obou bodech roven R.

Obdobným způsobem můžeme spočítat t:

t = (ab)²((x/a²)² + (y/b²)²)/2

A dosadíme-li do vzorců pro souřadnice středu křivosti, dostaneme po krátké úpravě:

s_x = x³(a² - b²)/a⁴
s_y = -y³(a² - b²)/b⁴

Vynásobíme-li s_x áčkem, s_y béčkem a umocníme-li oba výrazy na 2/3, dostaneme:

(as_x)^2/3 + (bs_y)^2/3 = (a² - b²)^2/3

což je známá rovnice zobecněné asteroidy, kterážto je evolutou elipsy. Tak to asi platí.