Hodinky ve ždímačce II

Tak jsem se na základě diskuse rozhodl, že napíšu ještě jedno pokračování. Tentokrát to bude opravdu hardcore, i s matematikou.

V diskusi u článku se vyskytlo několik druhů příspěvků. Někteří vůbec nepochopili, jakou souvislost by mohla mít odstředivá síla s gravitací a potažmo s dilatací času. Pro ty nejspíš toto pokračování není určené. Další skupina čtenářů pak spojení pochopila. Tato skupina se dále dělí na dvě podskupiny - jedni se domnívají, že by se odstředivá síla měla na dilataci času projevit, a ti druzí se domnívají že neměla.

V tomto pokračování se pokusím uvést dva důkazy toho, že by se odstředivá síla na dilataci času opravdu projevit neměla. Princip ekvivalence zkrátka neplatí tak, jak se běžně domníváme, nicméně skutečnost, že hodinky ve ždímačce pomaleji nepůjdou, ho nijak nevyvrací.

Matematický důkaz

Při matematickém důkazu nejdříve musíme odvodit vzorec, pro gravitační dilataci času. Kupodivu, lze ho odvodit právě z pohybu po kružnici, a není k tomu potřeba ani žádná složitá matematika. Jediné, co předpokládám, je znalost speciální teorie relativity.

Nechť tedy se těleso pohybuje po kruhové dráze o poloměru r úhlovou rychlostí ω. Obvodová rychlost tělesa je pak rovna r⋅ω a na těleso působí odstředivá síla, která mu uděluje zrychlení rovné r⋅ω². Vlivem obvodové rychlosti tak pozorovatel ve středu otáčení vidí, že hodiny umístěné podél ramena centrifugy ukazují čas pomaleji o:

t' = √(1 - (r⋅ω/c)²)t

Vidí tedy, že čím jsou hodiny na rameni dále od středu otáčení, tím jdou pomaleji. Pozorovatel na centrifuze však musí vidět to samé - hodiny blíž ke středu jdou rychleji než jeho hodiny, a hodiny dál od středu jdou pomaleji. (Tohle není úplně přesné, pro exaktní důkaz tohoto tvrzení je třeba trochu té metriky.) Protože však hodiny umístěné na ramenu centrifugy jsou vzhledem k pozorovateli v klidu, nezbývá pozorovateli na centrifuze než přičíst tento jev na vrub odstředivého zrychlení, které pociťuje.

Jenomže ve vzorci pro dilataci času vystupují r i ω ve druhé mocnině, zatímco ve zrychlení vystupuje ve druhé mocnině pouze ω. Abychom se zbavili závislosti na poloměru a úhlové rychlosti, musíme zrychlení převést na veličinu, kde se bude rovněž r vyskytovat ve druhé mocnině. A to je potenciál. Potenciál tíhového pole je taková funkce, jejíž derivace ve směru působení pole dává okamžitou hodnotu zrychlení. (Tady to vypadá zbytečně, ale zatímco zrychlení je vektorová veličina, je potenciál pro vektorové pole skalární funkce. A to se hodí, protože ve vzorci pro dilataci času se opravdu žádný vektor nevyskytuje.)

Proto potenciál fiktivního tíhového pole pro rotační soustavu dostaneme tak, že odstředivé zrychleni jednoduše zintegrujeme přes r. Potenciál je potom dán vzorcem:

φ = (r²⋅ω²)/2

A pro "gravitační" dilatace času pak snadno plyne:

t' = √(1 - 2⋅φ/c²)t

Tak tady první POZOR: Nezávisí na zrychlení, ale na potenciálu! Je to trochu rozdíl.

Dále víme, že pro gravitační zrychlení platí vzorec:

g = κ⋅M/r²

Čili gravitační potenciál je roven:

φ_g = -κ⋅M/r

kde κ je univerzální gravitační konstanta a M je hmotnost tělesa generující gravitační pole. Takže ještě obrátíme to znaménko, to je celkem formalita, a dostaneme pro gravitační dilataci času vzorec:

t' = √(1 - 2⋅κ⋅M/(r⋅c²))t

A tady velké druhé POZOR: To "r", které se nám vyskytuje v posledním vzorci nemá vůbec nic společného s "r" jakožto délkou ramene centrifugy. Nyní je to vzdálenost tělesa od středu gravitačního pole.

Takže teď máme všechnu potřebnou matematiku po kupě a můžeme se začít ptát. Dobře, máme centrifugu, která dělá 20g. Dilatace času v důsledku STR je zcela zanedbatelná, jaká bude dilatace času v důsledku odstředivého zrychlení? Žádná, respektive, ta dilatace času je totožná s tou klasickou. Jiná tam není. Gravitační dilatace času závisí na potenciálu gravitačního pole, nikoli na okamžitém lokálním zrychlení. Náš "fiktivní potenciál" "fiktivního gravitačního pole" rotující soustavy jsme ztotožnili s efekty STR. Nic jiného tam není.

A jako názornou ukázku toho, že dilatace času nezávisí na lokálním zrychlení uvedu příklad z minulého dílu. Pokud najdeme planetu, jejíž hmotnost je dvacetina hmotnosti Země, a jejíž poloměr je dvacetina poloměru Země, bude na jejím povrchu dvacetinásobně větší gravitační zrychlení než na Zemi, přesto dilatace času bude stejná jako na Zemi - čili stejné hodinky tam půjdou stejně rychle jako tady. Z uvedených vzorců to jistě každý sám dokáže spočítat.

Takže vidíme, že gravitační dilatace času závisí jaksi na celkovém "tvaru" gravitačního pole - zakukleně nám tam vstupuje hustota tělesa generujícího gravitační pole. Ve svých myšlenkových experimentech můžeme vytvářet libovolná tělesa, jejichž poměr zrychlení a dilatace času vzhledem k Zemi může být v podstatě libovolný.

Filozofický důkaz

Filozofický důkaz toho, že odstředivá síla nemá vliv na dilataci času je myslím mnohem přesvědčivější, než ten matematický. Je navíc mnohem stručnější a snáze pochopitelnější.

Představme si, že jsme pečlivě nestudovali vzorce uvedené v předchozí pasáži a že na to půjdeme stále naším selským rozumem. Pak tedy z minula víme, že gravitační zrychlení na povrchu Země je zhruba 9,81 m⋅s^-2, ve dvou stech kilometrech nad povrchem je to zhruba 9,22 m⋅s^-2. Dilatace času dělá zhruba 5 μs za den. Pokud tedy poměr gravitací 1:1,06 dělá rozdíl 5 μs za den, pak poměr gravitací 1:20 musí dělat skoro 94 μs. (prostě jsme to lineárně zextrapolovali.) Vložíme-li tedy atomové hodiny do centrifugy NASA, musíme naměřit mnohem přesvědčivější údaje pro potvrzení platnosti OTR.

Jenže nikdo takový důkaz nikdy nepřinesl a nikdo ho nikde neuvádí jako jeden z důkazů platnosti OTR. Místo toho se všude uvádějí mnohem méně přesvědčivé satelity GPS, případně vůbec kontroverzní Hafele - Keatingův experiment. Jaký pro to mohou mít vědci důvod? Nejspíš ten, že gravitační dilatace času se v centrifuze ani ve ždímačce zkrátka neprojevuje. A to je krátký filozofický důkaz toho, že zrychlení dilataci času nezpůsobuje.