Maxwellovo světlo

Maxwellovy rovnice jsou přítulnější, než byste řekli. Jsou zapsány podivnými symboly, z nichž jde hrůza. Ta složitá matematika však není k jejich pochopení vůbec zapotřebí.  

Tažnými koňmi populární fyziky je bezpochyby vesmír a mikrosvět. Obojí přitahuje každého, komu zbyla v těle alespoň trocha touhy po dobrodružství. Na diskusních fórech jsme svědky divokých hádek i střízlivých vysvětlování, co jsou kvarky, jak vesmír z ničeho povstal, nebo co je to kolaps vlnové funkce. Málokdy však zaznamenáme podobné vášně kolem fenoménů všednějších, jako jsou třeba Maxwellovy rovnice. Vysvětlení patrně leží v druhé polovině názvu. Pojem rovnice jistě veřejnost nechová ve zlatém fondu libozvučných slov. V případě těch Maxwellových je to ještě podtrženo tajemnými znaky, se kterými bychom se nechtěli setkat u tabule. A přesto nejsou zapotřebí k pochopení. Je to jen elegantní zápis, matematická zkratka.

V článku se pokusíme ukázat, že bychom k Maxwellovým rovnicím měli chovat úctu ne pro jejich složitost, nýbrž pro jejich jednoduchost. Matematický aparát použijeme jen pro dokreslení, komu je protivný, může ho směle přeskočit. Ukážeme, že vlastně rovnice už znáte, jen jste to nevěděli. Rovnice jsou na sobě nezávislé, na jejich pořadí nezáleží. Proto vyjdeme od té nejjednodušší.

I. Maxwellova rovnice

Tu první rovnici znají asi úplně všichni. Říká nám to, co jsme poznali už ve školce. Magnet musí mít vždy dva póly. Úplně každý magnet má severní a jižní pól. Ti podnikavější, kteří se pokusili magnet zlomit či rozříznout v touze oddělit od sebe severní a jižní pól, svůj pokus hořce oplakali. Magnet zničili nadarmo. Každá troska se okamžitě stala dvoupólovým magnetem. Mohli bychom tak magnet krájet až na atomární úroveň, nikdy se monopólu nedobereme.

Je teď jen na matematicích, jak tento fakt přeloží do své mluvy. Buďme k nim však trochu vstřícní a přeformulujme naše tvrzení tak, aby jim to šlo lépe. Nejprve si vzpomeneme na pojem silokřivky. Jsou to pomyslné čáry spojující oba póly, reprezentují magnetické pole a docela dobře se dají zviditelnit třeba pomocí železných pilin. Je vidět, že magnetické silokřivky z jednoho pólu vystupují, vstupují do druhého a tělesem magnetu se vracejí zpět.

Máme teď důležitý poznatek, magnetické křivky jsou vždy uzavřené. Plyne to právě z toho, že nemáme k dispozici magnetický monopól. Každá magnetická silokřivka vždy vstoupí do druhého pólu a uzavře se.

Ve skutečnosti jsou cesty silokřivek mnohem komplikovanější. Spojují se se silokřivkami jiných magnetů, ty zase se silokřivkami dalších magnetů, ale nakonec se nějakým způsobem přece jen domů vrátí.

To už je skutečnost, kterou matematik snadno popíše. Dokáže si totiž představit krabici od bot, kterou umístí do libovolného místa v prostoru. Může ji dát zcela mimo magnet, může do ní zavřít jen jeden pól (je to matematická (myšlená) krabice od bot, která nám svou stěnou magnet nenaruší ani nijak neovlivní), může ji dát blízko či daleko, může být malá či velká, může mít tvar kvádru či válce, ale klidně i brouka oškliváka se všemi jeho nožičkami a výběžky. Pak začne počítat silokřivky, které prochází stěnami krabice. Zjistí, že těch, které vstupují, je tolik, kolik jich vystupuje. Aby také ne, jsou to přece uzavřené křivky, ta, která do krabice vstoupí, musí někudy vystoupit. Když každé silokřivce přisoudíme váhu +1 nebo -1, podle toho, zda vstupuje nebo vystupuje, je nasnadě, že je součet vah nulový. Matematický zápis I. Maxwellovy věty tedy zní: Součet magnetických silokřivek v krabici je vždy nulový. Řečeno učeně: Magnetický tok libovolnou uzavřenou plochou je roven nule.

Matematik už nebude mít problém přeformulovat větu do jemu příjemného tvaru. Aby byl hodně přesný, představí si nekonečně jemné předivo silokřivek. Na takové sčítání má totiž osvědčený aparát, jmenuje se integrální počet. Ačkoli práce s integrály vyžaduje jistou matematickou zručnost, matematici jsou tu jako doma a nám stačí jen pochopit, že ten podivný znak ve tvaru protáhlého S jim jen říká, "sečti vše, co je za ním".

Při hlubší analýze narazíme na problém sčítání magnetických silokřivek. Jsou to přece pouze myšlené čáry. Jejich sčítání se zdá stejně pošetilé, jako bychom chtěli spočítat, kolik je vrstevnic mezi patou a vrcholem Řípu. Můžeme napočítat libovolné číslo mezi nulou a nekonečnem, záleží na jejich odstupu. Zde nám však stačí, aby byly silokřivky rozvrženy pravidelně, podobně jako vrstevnice na mapě. V praxi se pak nahrazují jasně definovanou veličinou nazývanou magnetický indukční tok, značenou B.

II. Maxwellova rovnice

Ne všechny póly se vyskytují pouze v párech jako ty magnetické. Víme, že elektricky nabitý hřeben můžeme i s jeho elektrickými náboji oddálit od vlasů nabitých opačně. Stále se k sobě přitahují, ale už existují odděleně. Je zřejmé, že o uzavřenosti elektrických silokřivek si můžeme jen nechat snít. Náš trik s krabicí od bot má šanci zafungovat jenom v případě, že v ní nebude žádný elektrický náboj. Ve chvíli, kdy do ní uzavřeme třeba kladný náboj, silokřivky budou pouze vystupovat a jejich součet samozřejmě nulový nebude. Bude mít nějakou konkrétní hodnotu a jediné, co na ní bude zajímavé, je, že je nezávislá na velikosti a tvaru krabice. Počet silokřivek bude stále stejný, ať bude mít krabice rozměr milimetr nebo světelný rok. Jediné na čem záleží, je velikost elektrického náboje v krabici. Matematik pak řekne: Elektrický tok libovolnou uzavřenou plochou je úměrný náboji, který je v ní uzavřen.

III. Maxwellova rovnice

Třetí Maxwellovu větu nezná ze zkušenosti úplně každý, ale učí se o ní již na základní škole ve fyzice. Je to ten známý pokus s magnetickou střelkou, která se vychýlí, když kolem ní teče elektrický proud. Je to názorný důkaz, že kolem vodiče s elektrickým proudem vzniká magnetické pole. Opět si můžeme kreslit silokřivky, v tomto případě budou mít tvar kružnic otáčejících se kolem vodiče. Tentokrát nás nebude zajímat jejich počet, ale rychlost, jakou se otáčejí. Zjistíme, že je úměrná velikosti proudu, který protéká centrálním vodičem.

Zdá se, že se rýsuje další Maxwellova věta, ale ve skutečnosti máme zatím jen Ampérův zákon ve své původní podobě. Neupozornili jsme na jeden zdánlivě okrajový problém, ke kterému se vrátíme později.

Sice názorným, ale přece jen podezřelým se může zdát pojem rychlosti otáčení silokřivky. Je to intuitivní vyjádření víru, který vytváří vektor elektrického pole. Popsat vír je úkon matematicky dobře podchycený pomocí operace zvané rotace vektoru a z ní odvoditelné cirkulace (to je jakási obdoba rotace v integrálním tvaru).

IV. Maxwellova rovnice

Jestliže kolem vodiče protékaného elektrickým proudem vzniká magnetické pole, neplatí něco podobného i obráceně? Není možné, aby přítomnost magnetického pole vyvolala ve vodiči elektrický proud? Asi si hned z kraje odpovíte záporně. Kdyby stačilo vedle drátu položit magnet, nemuseli bychom mít elektrárny. Přesto si to ověříme pokusem. Opravdu, vodičem nic neprotéká, měřicí přístroj nic nezaregistroval. Jedné věci jsme si však povšimli. Když jsme magnet přiblížili k obvodu, ručka měřáku poskočila a hned zase klesla k nule. Elektrický proud se magnetickým polem daří vygenerovat, ale musíme přitom magnetem hýbat. Když to zobecníme, důležité je proměnné magnetické pole. Právě jeho změna je to, co elektrický proud vybudí.

Poslední Maxwellova věta tedy říká, že elektrický proud kolem magnetické silokřivky je úměrný změně magnetického toku. Učeně řečeno: Cirkulace elektrického pole po uzavřené křivce je úměrná časové derivaci magnetického toku.

Kolem magnetické silokřivky tak vznikají kružnice elektrických silokřivek. Jejich matematický popis pomocí cirkulace nás již nepřekvapí. Efekt je však podmíněn tím, že se magnetická silokřivka mění. Zjistit, jak se funkce mění, je pro matematika jedna z nejjednodušších úloh. Používá k tomu nástroj zvaný derivace. Ve vzorcích se značí písmenem malé 'd'. 

Znovu III. Maxwellova rovnice

Vraťme se k Maxwellově rovnici, kterou jsme zde označili pořadovým číslem III. Již jsme si řekli, že popisuje vznik magnetického pole kolem vodiče protékaného elektrickým proudem. To však není všechno, je tu ještě jedna část související s něčím, čeho si normálně nevšimneme.

Ono totiž není pravda, že když vypínačem přerušíte okruh, přestane lampa svítit. Alespoň ne okamžitě. Kdybyste místo lampy připojili citlivý registrační přístroj, zjistili byste, že proud nezmizí skokem, nýbrž nějakou chvíli klesá k nule. Důležité je to cvaknutí vypínačem, ta změna napětí. Změnu napětí na přerušeném vodiči můžeme docílit i jiným způsobem - připojíme střídavé napětí. Pokud se střídá dostatečně rychle, pokles proudu ani nestačí sledovat vnější změny a přerušením stále nějaký proud teče.

Jak dlouho vydrží rozpojený kontakt vést elektrický proud? To záleží na geometrických vlastnostech vodiče v místě přerušení. V případě obyčejného vypínače jsou ty doby o mnoho řádů kratší než je frekvence domácí sítě, takže rozvodné závody mohou být v oprávněném klidu.

Chuckem Norisem mezi rozpojenými kontakty je součástka zvaná kondenzátor. Jsou to dvě rovnoběžné vodivé desky oddělené nepatrnou mezírkou. Podle tradičního náhledu je to přerušený vodič, kterým by neměl proud téct. Připojíme-li však napětí o dostatečně vysoké frekvenci, bez problémů proud naměříme. Právě tomuto proudu říkáme proud posuvný a je také zdrojem magnetického pole. Třetí Maxwellova věta dává do souvislosti magnetické pole nejen s proudem protékajícím vodič, ale i s posuvným proudem. V předchozím jsme uvedli, že změnu čehokoli vyjádří matematik velice snadno pomocí derivace. Tedy: Cirkulace magnetického pole po uzavřené křivce je úměrná součtu vodivého a posuvného proudu.

Bylo nebylo

Dobře si rovnice prohlédněte. Na první pohled by se mohlo zdát, že není na světě básník schopný napsat líbeznější čtyřverší. A přece k dokonalosti něco chybí. Všimli jste si, jak se první rovnice formálně podobá druhé a třetí čtvrté? Jak se rýmují? Klasický obkročný rým. Jenomže ne dost dokonalý. První rovnice má napravo nulu, druhá elektrický náboj. Třetí rovnice má napravo derivaci a elektrický proud, čtvrtá pouze tu derivaci. Ty sudé se odvolávají na elektrický náboj, liché by chtěly vyprávět o náboji magnetickém, o magnetických monopólech, které bohužel vesmír nezná. Snad to bývalo kdysi jiné. V počátcích vesmíru, při obrovských hustotách hmoty a energie bylo možné magnetické monopóly potkat. Tenkrát byly rovnice ještě krásnější. Opravdový estét samozřejmě může s takto rozšířenými rovnicemi pracovat i dnes a může všude psát znaky zastupující magnetický náboj, nicméně při dosazování konkrétních hodnot zjistí, že je magnetický náboj nulový a rovnice dají stejný výsledek.

Zde jsme uváděli Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru, který se nám zdál pro pochopení zřejmější. V praxi se častěji sahá po tvaru diferenciálním. Oba tvary jsou samozřejmě vzájemně převoditelné. Často se ještě přidávají tzv. hmotové rovnice, které zahrnují vliv prostředí. Jakkoli je pro inženýrské výpočty praktické tyto rovnice zahrnout, nepřinášejí po kvalitativní stránce nic, k čemu by nebylo možné dospět urputnými výpočty z původních rovnic.

J.C.Maxwell své rovnice napsal v mnohem komplikovanějším tvaru, rovnic bylo třeba několik desítek. Teprve Heaviside s Hertzem závislé rovnice vyloučili a zbytek převedli do dnešního úhledného tvaru. Proto se rovnicím po dlouhou dobu říkalo Hertz-Heavisideovy rovnice. Teprve na přímluvu Einsteina se jim vrátil název po jejich biologickém otci.

Světlo

Ačkoli Maxwellovy rovnice de facto popisují všechny elektrické děje, v obecném povědomí figurují jako něco, co se týká světla. Na první pohled není asi zřejmé, jak z těchto pár, teď již snad zřejmějších, řádek plyne tak významný fenomén.

Nahlédněme do plamene. Je plný rychle kmitajících částic nesoucích elektrický náboj, zejména elektronů. Kmitající elektron předstvuje vlastně střídavý elektrický proud. Třetí věta Maxwellova říká, že kolem takového proudu se musí vybudit magnetická silokřivka. Protože budící proud byl střídavý, i magnetická silokřivka musí neustále měnit svůj směr. Podle čtvrté věty musí proměnné magnetické pole vybudit proměnné elektrické pole. Kolem magnetické silokřivky tedy vznikne silokřivka elektrická.

Kdyby pan Maxwell nerozšířil Ampérův zákon o posuvný proud, v této chvíli bychom skončili. Takhle však víme, že rychle se měnící elektrická silokřivka vybudí magnetickou, ta další elektrickou, opět magnetickou... Jedna silokřivka se nabaluje na další a celé to postupuje prostorem jako jedna elektromagnetická vlna. J.C.Maxwell neodolal a ze svých rovnic spočítal i rychlost, jakou se bude vlna šířit. Vyšla mu hodnota, která se shodovala s rychlostí světla. Proto vyslovil předpoklad, že světlo je elektromagnetické záření.

Čtenářům zvyklým pohybovat se ve světě kvantových záhad asi nebudou poslední věty milé. Kvantové pojetí světla, jako proudu fotonů, je lidsky přijatelnější a diametrálně odlišné od vlnového přístupu. Aby toho nebylo málo, můžeme světlo popsat i pomocí Coulombova zákona rozšířeného o tzv. retardovaná pole. Tři teorie, každá dává na makroskopických měřítcích stejné výsledky. Která je správná? S tím nechť se laskavý čtenář popere sám.