Premium

Získejte všechny články
jen za 89 Kč/měsíc

Cesta do hlubin fraktálovy duše VIII

V dnešním pokračování fraktálové série se na jemně tepané matematické krajkoviny podíváme pohledem dynamických systémů. Pro prakticky zaměřené estéty pak v druhé části vybalím spoustu oku lahodících obrázků.

Minule jsme se podívali, jak se Mandelbrotova množina chová pro komplikovanější komplexní funkce. Dnes se vrátíme k množině Juliově a podíváme se na ni prizmatem dynamických systémů.

Diskretní dynamický systém je v podstatě funkční iterace - tedy opakované dosazení do nějaké formulky. Vybereme si vhodnou nelineární funkci, dosadíme do ní a to, co nám vyjde, dosadíme zpátky do funkce (jako další iteraci). A tento proces neustále opakujeme.

Jako nejjednodušší příklad si vezměme funkci f(x) = x2.

Abychom mohli iteraci nastartovat, budeme ještě potřebovat počáteční hodnotu x0 - tedy číslo, které do funkce dosadíme jako první (všechna další čísla, která nám budou během iterace z funkce "vypadávat" už jsou touto libovolně zvolenou hodnotou plně určena).

Iterací tedy dostaneme posloupnost čísel, které budu říkat orbita (dané počáteční hodnoty x0). Z pohledu fraktálů budeme rozlišovat orbity, které se nikdy příliš nevzdálí od počátku (typ A) a orbity, které dříve nebo později odběhnou do nekonečna (typ B). Tady je příklad toho iterativního dosazování do funkce f(x) pro x0=1, resp. x0=3

(typ A) 1 › 1 › 1 › 1 › 1 › 1 › ....

(typ B) 3 › 9 › 81 › 6561 › 43046721 › 1853020188851841 › ...

Kdy si to rozmyslíte, zjistíte, že pro tuto konkretní funkci x2 vedou počáteční podmínky mezi -1 a 1 k orbitám typu A, zatímco všechny ostatní vedou k typu B. Na reálné ose bychom ale moc krásy nenalezli, takže pro potřeby fraktálů budeme iterovat komplexní funkce. Pokud si v komplexní rovině obarvíme (počáteční) body vedoucí k orbitě typu A černě a ty, které vedou k orbitě typu B, barevně (kde tón barvy bude odpovídat počtu iterací, potřebných k tomu, abychom se dostatečně vzdálili od počátku), dostaneme obrázek tzv. Juliovy množiny (viz Galerie níže).

Abychom se ale mohli podívat, co se při výpočtu fraktálů děje pod kapotou, podíváme se na pár orbit zblízka (tyto obrázky jsou ale pouhým mezivýpočtem a v konečném fraktálu je neuvidíte).

Na obrázku vpravo jsem si vzal posunutou kubickou funkci f(z)=z3+s (kde s je pevně zvolený komplexní parametr) a sestrojil orbitu odpovídající počáteční hodnotě z0 = 0.2+0.4i (červený bod). Abychom lépe viděli dynamiku této orbity, měním s průběhem času barvu od tmavě zelené po žlutou (v daném případě se orbita spirálovitě propadá dovnitř, skáče z jedné větve "galaxie" na druhou, ale při tom zůstává v naznačených mezích, takže se jedná o typ A).

Z pohledu dynamiky má každá orbita v komplexní rovině spoustu možností, jak se příliš nevzdálit od počátku - může se blížit k nějakému ekvilibriu, může se namotat na periodickou orbitu a nebo může v okolí počátku jen tak chaoticky hopsat. Fraktálům je ovšem jedno, co orbita přesně provádí - pro všechny tyto možnosti je nakonec připravena černá barva. Důležité je, aby neodběhla k nekonečnu. Ve výsledném fraktálu by tedy bod z0 = 0.2+0.4i byl vyznačen černě. Tu orbitu samotnou v něm neuvidíte. Její charakter pouze určí barvu v dané počáteční podmínce (de facto ten červený bod "přesadíme" do fraktálu, udělíme mu barvu odpovídající typu té iterační orbity, a vezmeme si další počáteční hodnotu ke zkoumání).

Souhrnně pak tyto body tvoří Juliovu množinu funkce f. Její obrázek je tak de facto mapou chování orbit pro různé počáteční hodnoty (každý pixel odpovídá jednomu komplexnímu číslu, a tedy jedné počáteční hodnotě). A jak jsme si už řekli - komplexní čísla nalézající se v černé části množiny vedou k orbitám typu A.

Abychom viděli, jak může orbita z okolí počátku uniknout, podívejme se na obrázek vlevo (orbita červeného bodu opět běží od tmavě zelené do žluté). Po několika "nerozhodných" úvodních iteracích se orbita dostane do bodu vpravo dole a odtud pak už nezadržitelně odběhne do nekonečna. To znamená že v konečném fraktálu by tento počáteční červený bod získal nějaký nečerný odstín (podle zvoleného barevného schematu a rychlosti "odběhnutí").

Samozřejmě z okolí počátku se dá "dynamicky" uniknout i jinak - například po spirále, jako v obrázku předchozím, jen s tím rozdílem, že ta spirála se tentokrát bude kroutit směrem "ven".

V jistém smyslu tedy barvy na obrázku Juliovy množiny indikují stabilitu (zhruba řečeno - stabilní objekty přitahují okolní orbity, zatímco nestabilní je odpuzují - nezřídka až do nekonečna). V již zmíněném dynamickém Matykání jsme viděli, že pokud objekt ztratí stabilitu (změnou parametru), tak v tom prvním okamžiku ještě odpudivé síly nejsou dostatečně silné a body v jeho okolí si tu stabilní orbitu "pamatují", takže než se definitivně vzdálí, chvíli se potloukají v jeho blízkosti (jako na tom obrázku vlevo). A tohle zpomalení "úniku" má za následek, že k "dosažení nekonečna" potřebují orbity o něco delší čas než orbity "nezpomalené" (třeba z toho úvodního celočíselného příkladu) a to se ve fraktálním obrázku projeví změnou tónu barvy. V závěrečné sekci dnešní galerie je několik ukázek tohoto fenoménu. Ta černá množina už tam není (pro všechny počáteční podmínky odběhnou orbity do nekonečna), ale oblasti se "zpomalenou dynamikou" stále dokážou vytvořit podivuhodně jemné obrazce.

+++++++++

Galerie

Všechny obrázky Juliových množin níže vznikly iterací kubické funkce f(z)=z3+s, pro nějaké pevně zvolené komplexní číslo s. To mimochodem znamená, že všechna ta krása a mnohovrstevnost každého obrázku je plně zakódována v jednom jediném komplexním čísle s. Začneme s hodnotami s uprostřed Mandelbrotovy množiny, kde je ta černá, stabilní část poměrně robustní.

+++++++++

V okamžiku kdy se s hodnotou s začneme blížit k hranici Mandelbrotovy množiny, tak se ta černá část Juliovy množiny začne postupně ztenčovat, drobit a rozsypávat.

+++++++++

A když se s parametrem s dostaneme mimo Mandelbrotovu množinu, ty černé oblasti zmizí úplně, protože všechny orbity (z jakékoliv počáteční komplexní hodnoty) uniknou do nekonečna. Nicméně pokud jste stále dostatečně blízko její hranici (tentokrát zvnějšku), tak ten zpomalovací efekt popsaný na konci textu stále dokáže vymalovat celou řadu zajímavých obrázků.

+++++++++

Předchozí díly série "Cesta do hlubin fraktálovy duše"

Autor: Jan Řeháček | čtvrtek 9.8.2018 9:09 | karma článku: 20,54 | přečteno: 721x
  • Další články autora

Jan Řeháček

Náboženství: kdo stvořil koho?

Když se člověk setká s náboženstvím, jednou z prvních otázek, která mu vytane na mysli je: „Stvořil Bůh člověka a nebo člověk Boha?“. Přestože konečná odpověď je pravděpodobně „Ví Bůh“, člověk si může alespoň s chutí zaspekulovat.

28.10.2024 v 9:09 | Karma: 14,67 | Přečteno: 234x | Diskuse | Ostatní

Jan Řeháček

Harry the Groundhog

Groundhog neboli Woodchuck (český ekvivalent: svišť lesní) je poměrně rozšířený hlodavec na východě Spojených států. I v našem parku jich pár žije. Aby se mi nepletli, dal jsem jim jména. Toto je Harry.

9.10.2024 v 9:09 | Karma: 15,99 | Přečteno: 205x | Diskuse | Fotoblogy

Jan Řeháček

Kojot smrdutý

Žádný pořádný western se neobejde bez ikonické scény, ve které zarostlý desperát odloží láhev ohnivé vody a skrz zuby procedí: „Táhni, ty smrdutý kojote“. Letos se k nám do parku jeden takový zatoulal. A kupodivu ani moc nesmrděl.

9.9.2024 v 9:09 | Karma: 21,24 | Přečteno: 334x | Diskuse | Fotoblogy

Jan Řeháček

Náboženství: odkud se vzalo?

I povrchní pozorovatel si musí při zběžném prolistování almanachu světových civilizací povšimnout jedné zajímavé věci. Prakticky všechny známé kultury si vypěstovaly nějakou formu víry v Boha (náboženství). To asi nebude náhoda.

25.8.2024 v 9:09 | Karma: 14,54 | Přečteno: 357x | Diskuse | Společnost

Jan Řeháček

Zvířata a zvířátka

Letos se u nás vylíhlo neobvyklé množství disneyovských tvorečků, od zajíčků až po koloušky. Matička příroda si ale s takovým přebytkem ví rady. Naše lišky si pořídily rodinku a roztomilých zvířátek počalo rapidně ubývat.

9.8.2024 v 9:09 | Karma: 19,04 | Přečteno: 192x | Diskuse | Fotoblogy
  • Nejčtenější

Trump se vrátí do Bílého domu. Urval klíčové státy, prohlásil se vítězem

5. listopadu 2024,  aktualizováno  6.11 11:49

Sledujeme online Donald Trump zvítězil v amerických prezidentských volbách. Získal klíčovou Pensylvánii, jeho...

Putinův fotbalista. Čech strhává vlajky Ukrajiny a šíří propagandu. Je za hrdinu

31. října 2024

Premium Příběh Jaroslava Dolejše je ukázkou, jak funguje ruská propaganda a jak se z amatérského sportovce...

Obyčejně nikoho nepodporuji, ale teď musím, řekl Schwarzenegger k volbám

30. října 2024  18:03

Herec a bývalý guvernér Kalifornie Arnold Schwarzenegger oznámil, že v prezidentských volbách v USA...

Vraťte nám kus země, žádá Polsko. Spor by vyřešilo darování budovy ambasády

3. listopadu 2024

Premium Ačkoli se zdá, že má Česko s Poláky bezproblémové vztahy, pod povrchem doutná mnohaletý spor. Týká...

Čeká nás zlatá éra Ameriky, uzavřeme hranice, slíbil Trump ve vítězné řeči

6. listopadu 2024  7:55,  aktualizováno  8:55

Výsledek amerických prezidentských voleb je dosud největším politickým vítězstvím. Za jásotu svých...

Bartoš kritizoval vládu, že chce oddálit spuštění digitalizace o tři roky

6. listopadu 2024  17:03,  aktualizováno  20:36

Exministr pro místní rozvoj za Piráty Ivan Bartoš, politik vyhozený z vlády kvůli digitalizaci...

Jen aby se moc nedivili. Izrael slaví Trumpovo vítězství jako i svou výhru

6. listopadu 2024  20:29

Výsledek amerických prezidentských voleb bude mít zásadní vliv na dění na Blízkém východě, který se...

ANALÝZA: Konec jedné éry. Zhroutil se model elitářských snobů z Washingtonu

6. listopadu 2024

Premium Donald Trump je staronovým prezidentem USA poté, co se mu povedl největší politický comeback...

Harrisová pogratulovala Trumpovi k vítězství. Probírali klidné předání moci

6. listopadu 2024  19:16,  aktualizováno  19:53

Demokratka Kamala Harrisová ve středu zavolala republikánovi Donaldu Trumpovi a uznala svou porážku...

  • Počet článků 411
  • Celková karma 17,10
  • Průměrná čtenost 916x
Devátý nejhorší kuchař na světě, odpůrce politické překorektnělosti, začínající marťan, neúnavný konzument točeného kyslíku a jazykový dobrodruh ab incunabulis. Člen Analytického piva a Gustavu pro jazyk český. Správce Vojensko-českého slovníku.