Trisekce obecného úhlu a kvadratura kruhu

Po provedení překvapivě přesné a jednoduché aproximaci trisekce úhlu 60° a konstrukci 18-úhelníku se okamžitě nabízí otázka, zda stejný postup platí i pro ostatní úhly.

První pokus nevyšel, což se dalo očekávat, neboť při jiných úhlech než 60° netvoří ramena a protilehlá úsečka k úhlu rovnostranný trojúhelník, nýbrž pouze rovnoramenný. Zakopaný pes by tedy mohl být v poměru kružnic, jejichž průměr tvoří třetinu délky ramena a protilehlé úsečky. Zkombinoval jsem umístění kružnic a nic. Ale pak mne napadlo, což se od pohledu nabízelo, sestrojit bod, který vzdálen od počátku úhlu polovinou poloměru kružnice, která bude aritmetickým průměrem obou předchozích kružnic a hle, vypadalo to nadějně. Tedy alespoň pro přesnost rýsování školáka křídou na tabuli. 

Postup je tedy stejný, jako v předchozím článku ZDE, pouze se změní postup sestrojení bodu S'.

Postup:

Na přímce zvolíme bod S (vrchol úhlu a rovnostranného trjúhelníku) a sestrojíme kružnici j.

Sestrojíme úsečku SD pomocí kružnice j    SD = 3oj

Přenesením kružnic j vznikne úsečka AB, která je třetinou úsečky CD

Pomocí kružítka sestrojíme bod P a kružnici k a k'         k = k'

Sestrojíme kružnici m, jejíž průměr je aritmetickým průměrem průměrů úseček j a k.   om = (oj + ok)/2

Vznikne bod S'

Pak postupuje stejně jako při 60°:

Sestrojíme úsečku S'P, která protíná kružnici k v bodě X

Sestrojíme polopřímku SX, která protíná úsečku CD v bodě Z

Sestrojíme kružnici se středem v S, která protíná bod Z, vzniká čveřice bodů Y, Z, Z',Y', které ve spojení s bodem S tvoří aproximaci trisekce úhlu.

Třetiny úhlu 105° zaokrouhluje líbivě přesně na 35° a 70°  

 Vyzkoušel jsem ještě 75°

Ověření ostatních úhlů na modelu Draftsight  -    úsečka SZ   50°      úsečka SZ'   25°

A také jeden ostřejší  -  50°

Na 50° jde vidět, že program neumí dělit na úhlové minuty a zaokrouhluje. Třetina 50° je 16°40' , takže zobrazuje 17 a 33.

A pak tu máme ještě kvadraturu kruhu. Začne se  provedením trisekce (přesněji řečeno aproximací trisekce)  45°. Úhel 45° sice zrovna patří mezi úhly, které lze na tři díly rozdělit úplně přesně, protože lze jednoduše sestrojit úhel 30°, ale ponechejme tuto metodu. Na zobrazení úhlů nepřesný DraftSight ukazuje po rozdělení úhly  15° a  30°. Délky úseček mezi body  Y,  Z,  Z', Y' po přeměření nejsou úplně stejné.

Po vyhotovení trisekce přeneseme kružnici k do bodu Z', nazvěme ji k''  (k' je kružnice se středem v bodě S)

V průsečíku kružnic vznikne bod Q. Z bodu Q (pomocí kružítka) sestrojíme kolmou přímku k úsečce SY', vznikne bod Q'.

A to je všechno, úsečka SQ' je polovinou strany čtverce. Čtverec pak sestrojíme obvyklým způsobem. 

Porovnání obsahů kruhu a čtverce:   poměr cca 1 / 1,006

Vypadá to hezky, a vcelku elegantně, škoda toho rozdílu, dávné mysterium by bylo rozřešeno. Trochu by to připomínalo scénář z hollywoodského filmu s infantilně laděnou zápletkou, kdy totální outsider trumfne velké mozky uplynulých několik tisíciletí. Na druhou stranu, co by se vlastně rozřešilo? Pro praktický život by to nemělo žádný význam, takže - je to jen zábava.

Mimoto skutečné tajemství ideálních obrazců a těles a vůbec v základu zákon čísel leží kdes mimo hmotný svět, tam někde v podstatě onoho Jediného, mám za to.