Povídání o nekonečnu 3. - Iluze Hilbertova hotelu

Jeden z největších matematiků 20. století David Hilbert vytvořil obrazný příklad, na kterém chtěl ukázat speciální vlastnosti nekonečných množin. Také upozorňoval na klamání intuice. Zatím to byl právě on, kdo intuici ošálil.

Matematici pojem intuice, tak jak ho ve svém vyjadřování používají, nesmírně zúžily, jako to ostatně přirozeně dělají a musejí dělat i s ostatními pojmy, aby je mohli ke svým účelům používat.

Představme si hotel, který má nekonečně mnoho očíslovaných pokojů, které jsou všechny obsazené. Pokud přijde nový host, poprosí recepční všechny stávající hosty, aby se posunuli do pokoje s číslem o jedno vyšším a tak se pro nového hosta uvolní pokoj číslo 1. Obdobný je postup, pokud přijede jakýkoliv konečný počet hostů. Přijede-li nekonečně mnoho nových hostů, poprosí recepční hosty, aby se všichni přesunuli do pokoje s číslem dvakrát větším, než má jejich současný pokoj. Tak se uvolní nekonečně mnoho pokojů pro nové hosty (všechna lichá čísla). Dokonce i když přijede nekonečný počet autobusů, z nichž každý veze nekonečně mnoho nových hostů, recepční si umí poradit.

Promiňte, ale uvedený příklad je jen slovní eskamotérství. Vezměme první větu: Máme nekonečně mnoho pokojů a VŠECHNY jsou obsazené. Pokud aktuální nekonečno znamená CELÉ nekonečno, tj. všechny jeho prvky, pak když je CELÉ obsazené, nelze žádnou pozici uvolnit. Prostě každá myslitelná pozice bude obsazená. Nikdo se nikam posunout nemůže, protože do nekonečna bude každá pozice vedle aktuálně obsazená. Tím, že řekneme, že jsou všechny obsazené, vyznačíme každé myslitelné číslo do nekonečnosti a nemůžeme najít žádné nevyznačené. 

Pro jistotu vyjádřím ještě jinak. Aktuální nekonečno počítá s existencí množiny VŠECH přirozených čísel. Pokud tuto množinu vyznačím celou, nemohu najít žádné prázdné místo.

Z toho vyplývá, že zápis aktuální nekonečno + 1 (nebo plus jakékoli číslo) je nesmysl, iluze vznikající hrou zástupných symbolů. Je to trik, protože nekonečno ve skutečnosti není číslo či objekt, ale jen idea vyjadřující potenci a v příkladu s hotelem se s ním zachází jako s potencionálním, což je právě intuice schopna přijmout a nechá se tak ošálit.

Že se tato iluze a vůbec iluze aktuálního nekonečna mohla přijmout za obecnou pravdu je otázka pro psychology. Hilbertovo vědomí spíše pro fenomenology, neboť právě zde "intence" tedy zaměření na cíl opomenula "epoché" tj. neutrální postoj přísně zkoumající každý krok tvrzení. 

K tomu si můžeme připomenout názory dvou významných myslitelů, obzvláště Johna Locka.

Thomas Hobbes –  "Vše, co si představujeme, je konečné. Proto není představy ani pojmu toho, čemu říkáme nekonečnost. Nikdo na světě si nemůže představiti nekonečnou velikost ani si pomysliti nekonečnou rychlost, nekonečný čas ani sílu nebo nekonečnou moc. Pravím-li, že je něco nekonečné, chceme tím naznačiti, že nejsme s to pomysliti si konec toho, meze jmenované věci. Nemáme ponětí té věci, nýbrž jen své nedostatečnosti. […] Představíme-li si něco, musíme si to představit na nějakém místě a v nějaké velikosti a dělitelné na části."

John Locke –  "Mít aktuálně v mysli ideu prostoru, který je nekonečný, znamená však předpokládat, že mysl už prošla a aktuálně přehlíží všechny opakované ideje prostoru, což nekonečným opakováním nikdy nelze v mysli zcela předvést, a to sebou přináší logický spor."

Nekonečno je tedy pouze idea platformy, do které zasazujeme matematické objekty (de facto všechny objekty). Považovat tuto platformu za (matematický) objekt, který mohu do základní platformy znovu vsadit, tedy učinit celou věc částí této věci, je přestupek proti jakékoliv logice, proti základním pravdám čistého rozumu, přestupek, který vždy zákonitě bude přinášet spory. Jde o nesmyslnou představu jako třeba sám sebe celého sníst včetně trávícího traktu.

Zmíněnou základní ideu platformy lze nazvat nekonečnem absolutním.

Potencionální nekonečno je možnost libovolně jakoukoli konečnou množinu zvětšovat v této platformě absolutního nekonečna.
Aktuální nekonečno by mělo podle jeho zastánců být, že neukončené množiny dosahují absolutního nekonečna a my máme po ruce všechny jejich prvky, přitom podle Cantorových pojmů mohutnosti by měla tato nekonečna být různě velká a to jen z důvodu naší schopnosti či neschopnosti jejich prvky seřadit do seznamu.  Přitom, přesto že jsme si řekli, že máme po ruce všechny prvky a již jsme obsáhli rozsah absolutního nekonečna, přesto můžeme libovolně další prvky přidávat. Nemáte dojem, že si z vás někdo dělá srandu? Nehledě na spornou představu "celého nekonečna".

Hilbertův hotel je krásný podvod jako Copperfieldovo létání nebo průchod čínskou zdí. Hilbert v mysli diváka vyčaroval věrohodnou iluzi a možná ošálil i sám sebe. Je to efektní jako trik s čokoládou, kde přehlédneme nenápadný rozdíl.

Pokud budeme mít hotel (jakkoli, ale konečně dlouhý), který kdykoli naplníme, můžeme opět dle potřeby kolikrát chceme prodloužit, to potom ano. Máme před sebou nekonečnou platformu pro rozšiřování, kdykoli ale jakýkoli počet aktualizací ukončíme. Prostě si nikdy nedovolíme vyznačit všechny prvky, protože to prostě neumíme ani v tom nejhorečnějším snu.

Cokoli, co je aktuálně jsoucí, má v lidském myšlení hranici a pouze s tím, co je přehlédnutelné a pochopitelné, můžeme provádět smysluplné logické operace. 

David Hilbert tento zručný ploditel doktorandů byl nezlomě přesvědčen o síle lidského intelektu, o jeho schopnosti poznat vše. Ostatně epitaf, který si nechal vytesat na svůj náhrobek hovoří za vše: "Musíme vědět, budeme vědět". Pod vlivem tohoto poněkud domýšlivého postoje vyhlásil tzv. Hilbertův program, kde shrnul tehdejší nevyřešené problémy matematiky. Jeho představa poznatelnosti a axiomatizovatelnosti všeho, tj. že vše kolem nás můžeme popsat strnulými poučkami, které si vzájemně nebudou odporovat se však brzy zhroutila.

I když tento program posílil ctižádost matematiků a vedl k rozvoji mnoha teorií (dodejme, že většinou velmi složitých a stěží aplikovatelných teorií), u většiny těchto bodů najdeme neslané nemastné odpovědi " částečně" nebo " v podstatě" vyřešeno, což zrovna nekoreluje s určitostí matematického jazyka.

Naprostou přítrž Hilbertově "nadčlověčí" vizi učinil rakouský matematik a logik brněnský rodák Kurt Godel, který nechal "paní Aritmetiku" samu dát odpověď na otázku, zdali je bezesporně axiomatizovatelná. A o tom příště.