Osobní důkaz problému čtyř barev

Pointa problému je jednoduchá: Je možné vytvořit mapu, kde by bylo nutné použít pátou barvu k tomu, aby se zabránilo společné hranici ploch stejné barvy. 

Přísloví, že na první pohled jednoduché věci se později ukáží jako věci nejtěžší, na tento problém padne jako ulité. Ano je to problém, se kterým se potýká už dítě v předškolním věku při vybarvování omalovánek. 

Jsem bytostným založením hledající lidový filosof (a mám rád čaj, ze všech hmotných věcí, které se strkají do hlavy, nejvíce). Při mém hledání a vytváření si náhledu na realitu jsem se zabýval a stále se zabývám jak duchovní, tak racionální složkou lidského poznání, mezi nimiž kyvadlově pendluji, přičemž při tomto procesu v mém vědomí stále více dochází ke sloučení obou složek v jejich základech, lépe řečeno objevuji jednotu, která tu vždy byla, ale kterou člověk svými pojmy rozdělil, přičemž nechal vzniknout skupinám lidí (často celým národů či kontinentálním oblastem), kde převládá jeden z náhledů upřednostněný vývojem, čímž automaticky dojde k jednostrannému zkomolení obou.

Je pak zákonité, že si tyto skupiny nerozumí a vzájemně spolu bojují, pokud se cítí být druhou skupinou ohroženy. K trvalému řešení tohoto konfliktu se nedá dojít politickou cestou, ale pouze poznáním a následným přijetím základních sjednocujících a omyly osvětlujících pravd. Tyto pravdy však nejsou tupé a strnulé kodexy pouček, které se dají kdykoliv překroutit podle potřeb, ale pohyblivé modely usilující o sjednocení s pohyblivou skutečností. Hlavní překážkou k naplnění takové (po rozhlédnutí se kolem naivní) vize je myšlenková lenost a duchovní letargie jednotlivce, z níž pramení emociální zploštělost a ztráta invence. Kvalita je pak nahrazována kvantitou méněcenných věcí. 

Přítomnost obou zmíněných složek ve vzájemném propojení je nejvíce patrna v umění, z čehož plyne názorová tolerantnost a smířlivost většiny umělců. O problému čtyř barev jsem poprvé slyšel před lety, ale nijak jsem se tím nezabýval. Poznání vědy jsem tehdy přijímal velmi pasivně ve formě již hotových závěrů provedených samotnými vědci. Později jsem zjistil, že vědci jsou také jenom lidé a že jejich vyhodnocení  jsou často zcela subjektivní a odpovídají náhledu na celek samotného vědce nebo také dalo by se říci módnímu směru v dané disciplíně. Proto jsem postupně přešel k aktivnímu přemýšlení nad uveřejněnými výsledky samotných pozorování a v případě matematiky k přezkoumání základních axiomů na kterých je katedrála matematiky vystavěna. (poslední je u mne nyní v počátcích procesu a blahořečím tuto dobu v tom, že k těmto poznatkům a výsledkům pozorování má člověk alespoň částečně veřejný přístup, aniž by se musel stát členem nějakého spolku - školy).

Z toho všeho se mi zjevuje fakt, že hledání a poznávání bez předsudků vede k živému přesvědčení a osobní síle odolávající přílivu znásilňujících názorových proudů a je to jediný účinný lék proti jakékoliv formě fanatismu (a to i ze strany jednostranného materialismu). Skutečné poznání přináší vnitřní svobodu a ochotu spolupracovat na dalším společném řešení problémů. (Poznání nemá konečný stav, takže je  tedy lépe říci „míra skutečného poznání“ a ostatní položky dát do úměrnosti vůči ní).

Osobně jsem rozhodně více malíř než matematik (malíř sotva průměrný, matematik začátečník) a problém nejmenšího možného počtu barev se mi připomenul při pohrávání si s plochami v jednoduchém programu Microsoft Malování za účelem vytvořit jednoduché návrhy dekorativních abstraktních obrazů, kde jsem některé hranice ploch musel upravit, pokud jsem chtěl dodržet počet barev. Pro zpestření obrázky uvádím (ostatně všechny kromě jednoho nepříliš vydařeného pokusu o realizaci jsem zavrhl).

Z vědeckých disciplín mě nejvíce přitahovala fyzika, zvláště kvantová fyzika, neboť jsem tušil, že tam někde je spojovací most mezi viditelnou realitou a řekněme „oním světem“. Kolem matematiky jsem chodil po špičkách, protože jsem věděl, že učení se jí někdy „bolí“, ale nakonec jsem zjistil, že není kvantové fyziky bez klasické fyziky a fyzika jako taková bez matematických vztahů je jen literární filosofií, tak nezbývalo, než se do toho pustit. Před časem jsem opět narazil na problematiku čtyř barev. Řešení (nebo alespoň domnělé řešení) mi problesklo v okamžiku hlavou. Po té jsem si prošel první stranu odkazů ve vyhledávači, kde se prakticky opakovalo to, co jsem se o problému dověděl v oné knize. Nikde jsem neuzřel komplexní a zároveň prostý náhled. Po chvíli váhání jsem si začal psát poznámky.

• K uvedeným pojmům:

Jedná se o problém graficko-topologický, řešení je tedy (rádoby) graficko-topologické, neobsahuje tedy algebraické ani geometrické řešení, které zřejmě vůbec neexistuje. Postup je v zásadě podobný postupu v Euklidových Základech tj. v postupném vytváření geometrických axiomů, v tomto důkazu dalo by se dalo říct vytvářením graficko-topologických axiomů. Důkaz není proveden v míře jasnosti, jako například Euklidův důkaz o tom, že součet dvou odvěsen trojúhelníka je vždy větší než přepona, o kterém Epikurejci prohlásili, že to není třeba dokazovat, protože to vidí i osel. (Když umístíte do jednoho vrcholu osla a do druhého kupku sena, bude velice nepravděpodobné, že zvíře si zvolí cestu za vytouženým pokrmem podél dvou stran). Je tedy třeba vyvinout určitou míru představivosti. Člověk, který touto schopností nedisponuje, by se měl vzdát postu arbitra matematické pravdy (vůbec pravdy), zvláště v oboru topologie.

 Podobně jako bankéř své finanční produkty rozděluje do pěkných balíčků, aby se s nimi dalo výhodně pracovat (většinou k naší újmě), tak i zde je problematika rozdělena do určitých přehledných segmentů, které nabízí možnosti práce s nimi s vyšší přehledností souvislostí.

Pojmy: Názvy Kritické spojení; čtyřhlas; (topologický) zámek; graficko-topologický axiom jsou dílem okamžité inspirace a nikde jsem je nevyčetl. Pokud někde existují podobné nebo shodné postupy a názvy, nemusí to být dílem náhody a rovněž to nemusí znamenat, že by dotyční od sebe opisovali, ale že buď moc jiných řešení neexistuje, pak je shodnost nutností a nebo je to v zásadě důkazem, že inspirace je cosi, co má nehmotný, ale skutečný zdroj, na který se člověk intenzivně přemýšlející nad určitou problematikou může napojit. Tyto zdroje by se daly nazvat „éterickými informačními centrálami“. Jak každý již dobře ví, neprokázané nerovná se neexistující, naopak případů v historii, kdy dva nebo více lidí geograficky vzdálených něco objevili zároveň nebo jen znovuobjevili zapomenuté je tolik, že čistě statisticky si toto tvrzení říká o to, aby nebylo striktně odmítnuto.

Jsem si vědom, že tento důkaz nebude školený matematik považovat za důkaz. Řešení zřejmě nazve „pokusem o intuitivní řešení“. Záměrně jsem nepoužil odborné názvosloví, ze kterého vyplývá i nutnost použít zažité postupy, čímž bych jen zatemnil prostotu a přirozenost řešení pro obyčejného člověka. Věc jsem z tohoto důvodu také více rozpitval a některé věci vícekrát opakoval z jiného pohledu. V zásadě se jedná o univerzální psychologicko-edukační postup, tj. že pochopení problému probíhá ve fázích: Setkání - Opakovaná zkušenost - Uvědomění (sepnutí). 

Vědecký způsob názvosloví a jeho užívání je pravděpodobně dědictví po církvi, která pro na první pohled pochopitelnou věc vytvořila nesrozumitelnou formu, která byla následně považována jako jediná průkazná, a která svým mistrům a učedníkům posloužila k vytvoření umělého statutu výjimečnosti. Učit se této formě pak zabere 90% edukace a zbytek připadá na vlastní problematiku. Nicméně na druhou stranu chápu třeba v matematice potřebu specifického jazyka, protože takový počítač žádnou intuici nemá a je třeba stanovit i tu nejtriviálnější jednotlivost. (Intuici považuji za projev cítění, které by se dalo nazvat nevědomé a zrychlené uvažování ve vyšších celcích a řádech, pro mne je to zároveň něco, co překračuje hranici schrány lidského těla a tudíž tento pojem nechápu způsobem, jak jej /zúženě/ používá matematik). Co je ale skličující, že tento jazyk je nejednotný a často je to detektivní práce zjistit, co která neznámá znamená.

Nastínění vývoje problémučtyř barev (zdroj: Wikipedia):

• 1840 - První zmínka o problému pochází od A. F. Möbiuse
• 1852 - Frederic Guthrie zjistil, že politickou mapu UK je možné zbarvit čtyřmi barvami.
• 1860 - C. S. Peirce se pokusil o důkaz hypotézy, ale nedochovalo se autentické znění.
• 1922 - P. Franklin dokázal, že pro mapy s méně než 24 státy teorém funguje. Na 28 zvýšil počet států C. N. Reynolds v létech 1927-27. Na 32 to byl opět Franklin v roce 1938. Na 36 C. E. Win v roce 1940. Na 40 potom O. Ore s G. J. Stemplem v roce 1970, vzápětí G. A. Doněc a Stromquist na 45.
• J. Mayer, který nebyl matematikem, nýbrž profesor francouzské literatury začátkem 70. let  zvýšil hranici na 48 a Stromquist odpovídá hranicí 52.
• 1974 - Mayer dosáhl skoro neuvěřitelných hodnot 72 a 96
• 1976 - nakonec K. Appel a W. Haken z univerzity v Illinois oznámili, že problém vyřešili. Řešení si vyžádalo 1200 hodin strojového času. Plný důkaz má 56 stran textu a 114 stran obrázků (30 na každé straně)

Důkaz je však statistický bez vylíčení pointy – klíčové části důkazu. Počet konfigurací byl od té doby snížen na polovinu a zvýšily se rychlost a výkon počítačů. A tak ten, kdo by se snažil najít mapu o pěti barvách, by byl sice pokládán za pošetilce,  přesto však matematický svět očekává důkaz v tradiční podobě.

O elegantní důkaz se už nikdo, kromě amatérů, kteří se nebojí profanace, nepokouší. Zde tedy předkládám "důkaz", kterému rád říkám "výtvarný". Když už nic, tak možná pro někoho budou mít obrázky barevně připomínající tibetské mandaly jistý půvab.

Topologie je vskutku zábavný obor. Nuže takže, to je prozatím nakonec dokazování konců konec. (Blbější větu jsem asi nesestrojil). Teď mě napadá, konec je docela legrační slovo. Takoví národní obrozenci, ti by určitě zavrhli slovo terminál a nahradili by ho slovem konečník. Konečníkem by měla být každá osoba nebo věc, někdo nebo něco, co něco zakončuje. Třeba v interpunkci, co je to tečka? To je jen obecný popis tvaru znaménka, který nic neříká o jeho gramatické funkci. Takže je samozřejmé, že vedle otazníku a vykřičníku bychom měli mít konečník. Ten nakonec, viděno zvenčí v neaktivním stavu, vypadá také jako tečka, neníliš pravda. Aspoň já jsem to tedy vypozoroval (u pejsků a kočiček).

Co říci na závěr? Asi to všechno patří do análního terminálu.

Pozn.: Všechny obrázky jsem vyrobil pomocí nástroje  Powerpoint.