Jak jsem na Štědrý den vyřešil neřešitelný matematický problém - trisekce úhlu

Kdo by se dnes ještě pokoušel řešit tři slavné antické matematické problémy, mezi něž patří trisekce  úhlu, neboli rozdělení úhlu na tři stejné úhly euklidovským způsobem, tedy pomocí kružítka a pravítka. 

Článek není jen o matematice, svět je propojen miliardami vláken a já nedokážu psát tématicky jen o jedné věci. (Matematik pravděpodobně nepřekousne první část článku - může přeskočit, nematematik zřejmě nezpracuje tu druhou, rovněž může přeskočit).

Obvyklý to průběh vánoc po léta bojkotuji jako tichý  soukromý protest proti konzumismu. Nacpat se a čučet na bednu mohu kterýkoliv jiný den v roce a celé to honění, aby těch pár dní působilo dojmem hojnosti mi přijde jako pokrytecká taškařice. Snažím se pro sebe z vánoc udělat opět svátky duchovní, což ale neznamená toliko kostelní tělocvik („voni tam pořád vstávaj a sedaj, že se ani jeden pořádně soustředírovat a pohroužit do sebe nemůže!), ale dát vše hmotné stranou a nechat svou mysl plout kamsi nad hvězdné dálavy. Letos však nálada nebyla taková jako obvykle, cítil jsem cosi jako nádech deprese, abdikoval na své touhy a cíle s tím, že kdyby mě postihla nějaká fatální nemoc, asi bych neměl jakoukoliv vůli bojovat o pobyt na této zemi.

Z minulých let jsem si sice  byl vědom opakované zkušenosti, že neměnné zákony vetkané do veškerého nejen fyzikálního pohybu všehomíra nás utlačují jen proto a do takové míry, abychom přehodnotily své postoje, názory a vztahy a potom, když po lehčím či těžším prožívání v sobě přehodíme výhybku, opět pocítíme úlevu a nový příliv síly a nad obzor se opět vyhoupne hvězda naděje. Jenže... když se člověk v sobě propadne, rozhled se zúží a pak žádné myšlenkové chytračení nestačí. Tady pomůže jen prostá touha, jednoduchý čistý cit bez intelektuálních výhrad a kladení podmínek.

Nevěstka zvaná Ješitnost a její tři dítka z prvního pokolení skřetů zla - Pýcha, Samolibost a Domýšlivost způsobují těžký šedý zákal na zraku duše, přenastaví celou optiku, přitom sami sebe dokonale zamaskují a my pak vidíme celý svět a jeho stupně hodnot zkřiveně a naruby. Utrpení, duševní, které když nic nezmůže, přechází ve fyzické, je nám pak s to přinést závan pokory a skromnosti, dvou to ctností, jejichž světelný svazek propálí otvor do zkalené vrstvy a my pak jsme opět schopni alespoň na chvíli vidět správně.

Četl jsem si ten večer ve své oblíbené duchovní knize, slova do mě padala jako zářivé démanty a po delší době jsem opět cítil jejich oživující obsah, který se větvil jako fraktální strom do nedozírných výšek i hloubek a osvětloval všechna tajemství, které kdy lidem v jejich historii přišla na mysl. Ano jsou to ty zázračné okamžiky, kdy jakoby v záblesku je člověk schopen přehlédnout rozsáhlé tkanivo jsoucna a vnímat ho jako jeden celek, jako by na zlomek vteřiny  byla  otevřena všechna vrátka  v kolonádách světů.*

Svatá prostota se říkává. Být prostý je něco, o čem dnešní většinový člověk nemá tušení. Být prostý je to, co v evangeliu jazykem tehdejší doby je popsáno jako „chudý v duchu“. Neznamená to tedy být hloupý, natož retardovaný, ale být prost tlaku sobecké ctižádosti a bezohledné žádostivosti, kdy si člověk představuje, jak chodí na výsluní slávy jako modelka po molu a shlíží blahosklonně na své okolí pod sebou, kdy osobní ambice zcela přehluší schopnost posloužit vyšší všeobecně prospěšné věci, přičemž použitý talent i vnější forma projevu mohou zůstat v obou případech stejné.

A tento stav prostoty jsem si pro tuto chvíli užíval. Je to blažený pocit nepodmíněné spokojenosti, která nedokáže vidět v druhém nepřítele a která nezná mantinely závodní dráhy. Věděl jsem, že staří démoni se opět přihlásí, avšak po chvílích zjasnění je pak  člověk schopen je zřetelněji rozpoznat a také má větší sílu je odmítnout nebo alespoň oslabit.

Nyní bylo ale dobře, poslouchal jsem krásnou klasickou hudbu a říkal si, co vlastně budu dělat. Poslední léta jsem si psal filmové scénáře, což je vskutku úžasná činnost, v mysli vám putují postavy, vy jim můžete dávat do úst různé myšlenky, vymýšlíte scény, jste designérem, choreografem, módním návrhářem, malířem, architektem, futuristickým vědcem vynálezcem, básníkem či filozofem v jedné osobě. Ale ta cesta ze šuplíku k provedení,  „ajaj…“  Nicméně jeden takový mám rozdělaný a rád bych ho již z principu dodělal. Ve scéně je hledání kódu. Chtěl jsem použít říkanku, která odkazuje na matematickou Teorii grup, kterou pokud vím, ještě nikdo ve filmu nepoužil. Grupy se zabývají uspořádáním prvků do symetrií, úzce propojují matematiku a fyziku, následně všechny ostatní obory, patří k základu krásy a harmonie tvarů mikro i makro světa.

V říkance, kterou nebudu prozrazovat se sešly spolu na jedné ploše grupy D6 – šestihran, C3 – triskeles a Fanova rovina (obr.1). Objekty mě donutily vytvořit triangulační síť a při přemýšlení jak zaonačit objevení kódu mě cvrnklo do očí propojení různých bodů triangulace. Viděl jsem, jak lze lehce rozdělit protilehlou stranu k úhlu 60° rovnostranného trojúhelníku na tři stejné díly. To samozřejmě neznamená rozdělení úhlu na tři stejné díly, prostřední úhel je větší než krajní dva, ale jen tak z legrace mě napadlo, vyzkoušet udělat aproximaci tím, že budu tvořit propojení mezi vrcholem a vzdálenými body triangulace. Taková aproximace by mohla být dostatečně přesná na to, aby odpovídala přesnosti Euklidova starověku. Nechtělo se mi však malovat velkou triangulační síť a ani nemám dobré nářadí (neokousané pravítko a větší kružítko), tak jsem nejdříve nahodile zkoušel různá propojení poblíž – výsledek: chaos (obr.2). Chtěl jsem toho nechat, přece jenom trávit Štědrý večer rýsováním…., ale pak mě napadlo, že všechny ty body vzdalující se triangulace by měly být inverzně nazrcadlené poblíž vrcholu, nebo lépe řečeno, každý trojúhelník lze rozdělit na menší trojúhelníky, v čemž lze fraktálně pokračovat do nekonečna a body těchto menších trojúhelníků by měly být v různých směrech, hledíme-li od vrcholu, v zákrytu s některými body větších trojúhelníků, čímž se, pokud okrajově vím, zabývá tzv. diskrétní geometrie.

Pak přišel zlomový bod. Napadlo mě narýsovat kružnici (která je vlastně jednotková) se středem v bodě, který dělí protilehlou úsečku na třetiny. Na této kružnici musí ležet bod, který protíná přímka rozdělující úhel na tři stejné úhly (20°), a co když tento bod protíná ještě jiná přímka spojená body konstruovatelnými kružítkem a pravítkem. Nabízely se body na ramenu trojúhelníka, třetí pokus byl polovina poloměru jednotkové kružnice vzdálená od vrcholu. Vypadalo to velmi přesně, ale rys byl malý a mé prasečí rýsování dost nepřesné. Rys jsem udělal znovu a větší, a opět to vypadalo přesně (obr.3)

Sestrojením kolmice k vytvořené úsečce vznikl pravoúhlý trojúhelník.  Jednotková kružnice měla poloměr 2 cm. Úsečka (přilehlá) dělící původní úhel a třetinu měla 15,8 cm a kolmice (protilehlá) 5,75 cm. Přilehlou jsem vydělil protilehlou a vyšlo mi 0,3639240506. Tangens 20° je na kalkulačce 0,36397023. Chvíli jsem na to hleděl, pak konstatoval nepřesnost rýsování. Opět jsem si řekl, co jsem to za blázna na Štědrý večer rýsovat, ale nakonec mi to nedalo.

Stáhl jsem si aplikaci Draftsight 2D, která se nabízela zdarma na vyzkoušení a bez zaučení, intuitivně, jsem začal spěšně rýsovat. (Z toho důvodu se omlouvám za chaotické souřadnice, a poněkud zvláštní délky úseček, nějak nechápu, proč ten program měří v pixelech. Označení bodů a poznámky jsem doplnil v Powerpointu.)

obr.4

1.Narýsujeme přímku.

2.Zvolíme bod S

3.Narýsujeme (jednotkovou) kružnici  (poloměr=1 jednotka)

4.Pomocí opakování kružnic sestrojíme úsečku 6 jednotek dlouhou. 

obr.5

5. Pomocí kružnic strojíme rovnostranný trojúhelník o straně 6 jednotek

obr.6

6. Pomocí kružítka sestrojíme dvě jednotkové kružnice p, q na protilehlé straně trojúhelníku (můžeme i třetí).

7. Vznikne bod P, který je třetinou protilehlé strany.

obr.7

8. Sestrojíme bod S', který je vzdálen 1 poloměru jednotkové kružnice od bodu S tj. 0,5 jednotky.

obr.8

9. Z bodu S' sestrojíme úsečku (nebo polopřímku) do bodu P.

10. Vznikne onen záhadný bod X, který protíná kružnici p

obr.9

Polopřímka svírá se základnou trojúhelníku pro mne překvapivě úhel 45° **

obr.10

11. Z bodu S' sestrojíme polopřímku protínající bod X.

12. Na protilehlé straně trojúhelníku vznikne kýžený bod Z.

13. Bodem Z vedeme kružnici se středem v bodu S. (žlutá čárkovaná kružnice)

14. Vznikají body Z', Y, Y'

obr.12 a 13

15. Sestrojíme polopřímku SZ'.

Pokud budeme chtít vytvořit pravidelný osmnáctiúhelník, můžeme propojit úsečkami body Z, Z', Y, Y'

Jsou úhly mezi rameny rovnostranného trojúhelníku stejné? Svírají úhel 20°? Lze potom sestrojit i pravidelný osmnáctiúhelník?

16. Ověření můžeme provést vytvoření kružnice k se středem v Z a poloměrem ZY.

17. Kružnice musí protínat i bod  Z'.

18. Kružnici přeneseme – střed v Z'.

19. Kružnice musí protínat body Z a Y'.

V pásu vlevo je červeném rámečku u obou obrázků jsou vyobrazeny poloměry jedné a druhé kružnice.

(Vypadá to nadějně)

obr. 14

20. Další ověření klasickým způsobem pomocí výpočtu goniometrické funkce.  Změříme úsečku SZ, kterou můžeme nazvat c (v pásu vlevo délka 228,975 – v pásu v červeném rámečku)

V pásu ve žlutém rámečku lze vidět úhel 40°, takže je to jasné, ale pokračujme v klasickém způsobu.

obr.15

21. Sestrojíme kolmici na rameno trojúhelníku protínající bod Z, vzniklou úsečku pojmenujme a.

(V pásu vlevo délka 78,29 - v červeném rámečku)

(Původně jsem chtěl vytvořit kolmici na úsečku c, abych mohl počítat tangens, ale model odmítal rychlé provedení, tak jsem vytvořil kolmici na rameno trojúhelníku, a budu počítat sinus)

 22. Vznikne pravoúhlý trojúhelník SZ pravoúhlý vrchol, kde spočítáme poměr protilehlé odvěsny ku přeponě a/c:

78,29 / 228,975 = 0,3419150562

sin 20° = 0,3420201433

Rozdíl jedna desetitisícina. Nedovolím si říct, jestli je to špatně, nebo zde může být nějaká tolerance.

Nevím, ale možná by byl tatíček Euklides, po kterém je způsob řešení pojmenovaný, s řešením spokojený.

Obr.21, 22

Pokud provedeme trisekci úhlu 60°, pak můžeme pomocí kružnice  k sestrojit  18-úhelník.

Pozn: Carl Friedrich Gauss sestrojil 17-úhelník a dokázal, že pomocí kružítka a pravítka lze sestrojit pouze mnohoúhelníky, jejichž počet stran se rovná Fermatovu prvočíslu nebo součinu několika Fermatových prvočísel a mocniny čísla dvě, mezi něž 18-úhelník nepatří.

obr. 23

Vnitřní úhel 18-úhelníku – 160°

obr. 24, 25

A zde je hotový v celé své kráse – Octadekagon. Jak to říkal C. F. Gauss, když mu chtěli vytesat na náhrobek 17-úhelník: „To nemá cenu, stejně by vypadal jako kruh“.

Vypadalo to na jakýsi pseudo-dárek od Ježíška. Radosti jsem však nepodlehl, protože jsem tušil nějakou zradu. Vím, že přesné řešení z algebraického hlediska není možné, ale přiznám se, že jsem si to chvilku přál. 

Zrada spočívala v softwaru Draftsight 2D, slavném to profesionálním produktu CAD, který vedle toho, že píše délky v pixelech na x míst, neumí zobrazit úhly v úhlových minutách a sekundách, ale zaokrouhluje je na celé stupně (Fuck me, CAD). 

Matematikovi z liberecké Technické univerzity dle tohoto postupu vyšel úhel 40,01°, což na antické poměry není vůbec špatné (úhel viz obr.14). Práce s kružítkem a pravítkem se ve větších měřítkách, jako je třeba rozměřování stavební plochy na pozemku, prováděla lanem, takže kdybyste chtěli provést trisekci úhlu nebo zkonstruovat 18-úhelník například na ploše 50 m, odchylka by prakticky nebyla poznat.

Aproximací jistě existuje celá řada, ale tato, si myslím, je zajímavá pro svou eleganci a rychlost, s jakou jde k cíli. Já vím, já vím, v nadpisu mělo být "Jak jsem řešil...", ale mám za to, že to stejně nikdo nebral vážně.

Teď už jen zbývá otázka, zda toto řešení platí i pro jiné úhly, než je 60°. Musím říct, že neplatí, ale zároveň musím hned povědět, že jsem záhy přišel na jiný způsob, který platí pro všechny úhly, u kterého je řešení pro úhel 60° vlastně ideálním případem, který redukuje určitou část postupu. 

O tom společně s kvadraturou kruhu, kterou jsem provedl s odchylkou 6 tisícin v poměru obsahů, píši v následujícím článku, který je pro okrajovost tématu veden jako soukromý (tudíž na hlavní straně nezobrazený). ZDE

*pozn - Jde samozřejmě o subjektivní vjem. Vše přehlédnout nemůže žádný smrtelník, ale člověk to tak v daný okamžik prožívá, přičemž dojem si nevyvolá sám, ale doslova se na něj náhle svalí.

**úhel 45° u obr.9, který mě překvapil, je podle přesnější aplikace 44,7°