Na konec roku připadne 99. výročí vzniku Schrödingerovy (vlnové) rovnice

1925 Schrödinger formuluje vlnovou rovnici, 1933 Nobelova cena, 1938 vyhazov z univerzity pro nesouhlas s nacistickým režimem. Budování kvantové mechaniky však začalo už 1900 Planckovým kvantováním pro záření černého tělesa.

Transparence (jak se správně česky říká foliím) a jejich powerpointový klon změnily způsob přednášení. Už jen výjimečně se vidí klasický přednášející, který na tabuli odvozuje křídou (tedy, my Asiaté píšeme barevnými fixkami na tabuli bílou). Říká se, že takový L. Boltzmann měl celý život fobii, že najednou uprostřed výkladu u té tabule zapomene, jak je to dál. Tak to se majiteli sbírky transparencí stát nemůže. Transparence též umožňují posluchačům uvidět věci dříve nevídané. V mé sbírce transparencí je i jedna, na které je zasněžená horská chata obklopená smrky, a pod ní informace, že v této horské boudě spatřila světlo světa vlnová mechanika.

Erwinu (tedy, správně česky Ervínu) Schrödingerovi bylo v roce 1925 třicet osm let, a už byl čtvrtým rokem profesorem teoretické fyziky v Curychu. Švýcarsko nebylo Schrödingerovou vlastí, narodil se ve Vídni, a po doktorátu postupně prošel různými akademickými úvazky ve Vídni, Jeně, Stuttgartu, a Vratislavi. V letech 1927 až 1933 působil Schrödinger jako profesor na univerzitě v Berlíně. Po příchodu Hitlera k moci požádal o studijní volno, a navštívil Oxford a Princeton. Byl výjimkou - na podzim toho roku na 960 univerzitních profesorů zveřejnilo manifest podpory nové moci. Mezi organizátory tohoto prohlášení byl napr. i filosof Heidegger. Později se z manifestu stala pro státní zaměstnance povinná přísaha věrnosti Vůdci. V roce 1936 se Schrödinger stává profesorem v rakouském Grazu, odkud je ale po připojení Rakouska k Říši v r. 1938 vypuzen. Nacisté mu nezapomněli, že byl jedním z mála, kteří v r. 1933 nevítali nástup jejich režimu. Schrödinger sice tehdy nakonec sepsal své přihlášení se k Vůdci, které vyšlo v německých i rakouských listech. Nicméně to už nemohlo stačit. Schrödinger byl z university vyhozen ministerským výměrem datovaným 26.8.1938 s poučením, že proti tomuto výměru není odvolání. Výměr nabýval moci dnem doručení. Schrödingerovi však dosud měli platné pasy a podařilo se jim vycestovat do Říma. Nemohli si ale vzít sebou žádné cennosti, v Grazu musela zůstat i zlatá nobelovská medaile. Do Říma přijeli bez peněz, naštěstí na nádraží je čekal Enrico Fermi. Přes Oxford a Gent po roce posléze dorazili do irského Dublinu, kde jim bylo přežít válku. Teprve jako 68-letý se navrátí do Rakouska, odkud byl, ač árijec, vyštván v r. 1938.

Traduje se, že matematik Hermann Weyl jednou řekl, že Schrödinger vytvořil svou nejvýznamnější práci během pozdního životního milostného vzplanutí. Před tím v roce 1914 vyslovilo ministerstvo souhlas s jeho ustanovením za privátního docenta, což ale nezajišťovalo pravidelný příjem. Ustanovení nebylo zcela hladkou záležitostí, neb jeden z oponentů napsal: ‚Můj názor inklinuje proti této předčasné habilitaci vzhledem k mládí uchazeče a malému objemu dokončené výzkumné práce.‘ Schrödinger se tehdy obíral kinetikou dielektrik, kde rozvíjel výsledky, kterých dosáhl Peter Debye. Debye byl původem Holanďan narozený v Maastrichtu, od roku 1920 profesor experimentální fyziky na technice v Curychu, známé jako ETH. Debye obdržel Nobelovu cenu za chemii v r. 1936 za příspěvky poznání molekulové struktury. Se svým asistentem Paul Scherrerem kupř. zavedli Debye-Scherrerovu práškovou difrakční metodu. Debye též zkoumal dipolový moment molekul, dnes měřený v jednotkách Debye, a rozvíjel teorii elektrolytů. Peter Debye patřil v Curychu do okruhu blízkých přátel Ervína Schrödingera. Dalším byl Hermann Weyl, v té době profesor matematiky na ETH, jehož pozoruhodné svědectví o okolnostech Ervínova životního výsledku již bylo zmíněno.

Začátkem zimního semestru akademického roku 1925/26 Schrödinger ještě netušil, že ho čekají nejplodnější měsíce života - během roku 1926 vyjde v Annalen der Physik šest jeho prací o vlnové mechanice. To by i jinak bylo hodně, uvážíme-li, že jeho pedagogický úvazek byl překvapivě hutný - týdně pět hodin o teorii elektřiny, dvě hodiny o teorii spekter, cvičení k tomu kurzu elektřiny, a pak jednou za dva týdny společný seminář Univerzity a ETH v délce dvou hodin. Shodou okolností vyšla právě časopisecky disertace Francouze Louise de Broglie, ve které s pomocí teorie relativity uvažoval možnost vlnové povahy hmotných částic, a dal do relace jejich hybnost s vlnovou délkou (Nobelova cena 1929). Tato dualita částice-vlnění souvisí s experimenty, které ve dvacátých letech ukazovaly na chování elektronů nejen jako částice, ale i jako vlnění (difrakce, interference). Budoucí matematický popis by měl též být konzistentní s tou de Broglieho relací. Peter Debye nadhodil, že Ervín by moh na semináři na to téma pohovořit. Má se za to, že k tomu semináři došlo 23.11.1925. Na jeho závěr měl Debye nezávazně prohodit, že mu ta celá záležitost připadá poněkud dětinská, ale když už se někdo chce vlnami zabývat, měl by k tomu mít nějakou vlnovou rovnici. Jen několik týdnů po té podal Ervín další seminář, který uvedl větou: Můj kolega Debye navrhl, že by bylo třeba nějaké vlnové rovnice - jednu jsem tedy našel.

Po historickém listopadovém semináři zbýval do Vánoc roku 1925 již jen měsíc. Z Schrödingerovy korespondence vyplývá, že se popisem elektronů v atomu pomocí nového vlnového přístupu obíral již před oním seminářem, leč zatím narážel na matematické obtíže. Není jasné, jak mnoho pokročil před Vánocemi. Zřejmě se prvně pokoušel zahrnout i korekce na relativitu, ale pro nesouhlas s experimentem u vodíkového atomu se věnoval hledání rovnice bez relativistického zobecnění. Za neúspěch tehdy patrně mohla ještě neznámá koncepce spinu elektronů. Zatímco Schrödinger tu svou relativistickou verzi nezveřejnil, a ani se nezachovala, udělal to za něj Paul Dirac, což mu vyneslo tu druhou polovinu Nobelovy ceny za fyziku 1933. Historie má za jisté, že Ervín odejel na vánoce do hor do Arosy, a to se ženou, jejíž totožnost se nezná, leč s jistotou se ví, že to nebyla jeho zákonná choť. Ervín na tuto cestu povolal jednu svou dřívější přítelkyni z Vídně. Choť Annemarie zůstala v Curychu, kam se Ervín navrátil až 9. ledna 1926. Ač si Ervín vedl deník, část z roku 1925 bohužel chybí. Navíc chybí i záznam v hotelové knize, ovšem lze pochopit, že právě na tom krásná neznámá mohla mít v konzervativním Rakousku intenzívní zájem.

Dne 27.12.1925 píše Ervín z Arosy do Mnichova W. Wienovi, a z dopisu je zcela jasné, že už měl v ruce správné energetické hladiny elektronu ve vodíkovém atomu. Je to tak první historicky doložené datum, kdy můžeme již hovořit o existenci rovnice dnes známé jako Schrödingerova (vlnová) rovnice. V dopise je též zmínka, že si ještě musí doplnit nějaké mezery v diferenciálních rovnicích, aby věc mohl podat úplně čistě. K tomu zřejmě došlo hned po návratu 9. ledna, neb ve své první časopisecky vyšlé práci Schrödinger děkuje H. Weylovi za radu v řešení rovnice. Rukopis dorazil do Ann. Phys. v úterý 27.1.1926. Již 2. dubna 1926 mohl Schrödinger poslat separát práce Maxu Planckovi, který se spekulativně ku kvantování energie dopracoval už na přelomu století. Ten obratem odpověděl, že článek četl dychtivě jako dítě, které se dovídá řešení hádanky, na které dlouhou dobu nemohlo přijít. Odhaduje se, že jen do roku 1960 bylo publikováno více než 100000 prací představujících aplikace Schrödingerovy rovnice, která se tak stala zcela základním nástrojem pro popis mikrosvěta – elementárních částic, atomů, molekul.

Historicky to byl ale právě Max Planck, kdo otevřel cestu ku kvantové mechanice svou prací z roku 1900 o záření absolutně černého tělesa. Popis tohoto záření Max Planck zvládl teprve poté, co ryze spekulativně zkusil, co to udělá, když energie nebude spojitá nýbrž kvantovaná. Absolutně černé těleso je definováno tak, že dokáže pohlcovat záření všech vlnových délek. Pro toto těleso byla k dispozici měření, která z experimentů vedla k formulaci dvou empirických zákonitostí. Podle Stefan-Boltzmannova zákona úhrnná energie vyzařovaná černým tělesem roste se čtvrtou mocninou absolutní teploty. A podle Wienova posunovacího zákona je vlnová délka s nejvyšší zářivostí nepřímo úměrná teplotě tělesa. Tyto výsledky však nebylo možné odvodit z klasických koncepcí - dokonce nebylo možné ani dojít k charakteristickému tvaru spektra s maximem. Tuto neutěšenou situaci překonal právě až Max Planck když zkusil použít energii nikoliv spojitou nýbrž kvantovanou. Ač to sám nemohl vysvětlit, dostal takto souhlas s měřeními, že spektrum toho černého tělesa má maximum závislé na teplotě. Nadto, když se toto Planckovo spektrum zintegruje přes všechny vlnové délky, dostane se to, co formuluje onen zákon Stefan-Boltzmannův. A tím taky začala historie kvantové mechaniky, byť teprve po čtvrt století Erwin Schrödinger vytvořil Schrödingerovu rovnici (také poněkud spekulativně – ta se dnes řadí mezi postuláty či axiomy kvantové mechaniky), z které to Planckovo kvantování energie vyplývalo zcela přirozeně – z vlastností zahrnutých diferenciálních rovnic.

Záření absolutně černého tělesa je dnes i užitečným modelem pro racionalizaci skleníkového jevu v atmosféře, nebo třeba střední teploty zemského povrchu. A je to i ukázka, jak se neklasické fyzikální výsledky mohou nakonec promítat do života kohokoliv. Hlavním zdrojem energie pro Zemi je Slunce (energii přicházející od horkého zemského magmatu v zemském nitru můžeme pominout). Energie přicházející od Slunce (tu také můžeme pojednat přes to záření černého tělesa, jak ukazuje obrázek u perexu) je v zásadě konstantní, hovoří se o sluneční konstantě jakožto o energii dopadající za jednotku času na jednotku plochy kolmo na směr paprsků. Část slunečního záření se ale odráží zpět do prostoru, a není využita. Toto tzv. albedo činí pro Zemí asi 30%. Podstatně vyšší je u Venuše, kde činí kolem 70%, na čemž se podílejí mraky obsahující sloučeniny síry - tento odraz způsobuje, že Venuše na obloze jasně září. Krom toho, že energii Země přijímá, tak ji také do prostoru vyzařuje, což se zase pro jednoduchost popisuje pomoci toho černého tělesa. Základní rozdíl je ale v tom, že Slunce vyzařuje hlavně UV záření (to pak podstatně zredukuje ozónová vrstva Země), viditelné světlo a blízké infračervené záření, zatímco Země jen méně energetické (tedy s nižší frekvencí) vzdálenější infračervené záření, naším okem nepostihnutelné. Ergo máme dva pochody, energie přichází od Slunce, energie je Zemí vyzařovaná do prostoru. Za rovnováhy se tyto dva toky vyrovnají. Tím je určena teplota zemského povrchu, neb i vyzařování energie ze Země závisí na čtvrté mocnině její teploty. Takto se ale došlo k divnému výsledku, že průměrná teplota Země by měla být jen 255 K, ač z měření je známo, že činí kolem 288 K. I když je Venuše blíže Slunci, vzhledem k jejímu vyššímu albedu by pro ni stejný modelový výpočet poskytl dokonce jen teplotu 240 K, tedy v ještě větším rozporu s realitou. Takovýto modelový odhad lze aplikovat třeba i na Mars - dostane se 216 K, ač pozorovaná teplota je tam 240 K.

Vysvětlení je v tom, že jsme zatím ignorovali zemskou atmosféru. V atmosféře je sice hlavně dusík a kyslík, ale ty jsou z našeho hlediska bezvýznamné. Jsou tam ale i jiné plyny jako voda, kysličník uhličitý CO₂, metan, ozón. A tyto molekuly samy také mohou absorbovat světelnou energii v blízkosti toho spektrálního maxima (pro vyzařování ze Země), co ho s pomocí kvantové hypotézy (pro každé těleso) odvodil už Max Planck. A tím způsobují odchylky od toho jednoduchého Stefan-Boltzmannova zákona. Toto se projeví ve spektrech záření ze Země odcházejícího do vesmíru vykousnutými zuby odpovídajícími frekvencím absorbujících molekul (část adsorbovaného záření molekuly při pozdější emisi vrací k zemskému povrchu). Aby se takto odkloněná energie mohla v bilanci nahradit, musí se zvýšit teplota zemského povrchu - v modelech i ve skutečnosti. Pokud tedy má být nicméně dosaženo rovnováhy mezi přijímanou a vyzařovanou energii, musí se teplota povrchu zvýšit na těch 288 K. A nyní do toho navíc zasáhlo lidské průmyslové podnikání, které dále zvyšuje obsah CO₂ v atmosféře, a tím volky nevolky stoupá teplota.

Zatímco výsledky Planckovy kvantové teorie absolutně černého tělesa slouží pro pochopení skleníkového jevu, Einsteinův (relativistický) výsledek E= mc² z roku 1905 slouží dnes lidstvu v jaderných elektrárnách (a je to další ukázka, jak se neklasické fyzikální výsledky nakonec promítají do života každého z nás). A v budoucnu bude sloužit i v elektrárnách termojaderných. V minulém díle jsme jako ukázku termojaderných procesů zvolili třeba reakci: D + T = He + n (tedy deuterium neboli těžký vodík plus tritium neboli supertěžký vodík dává helium a neutron; reaktanty jsou vzhledem k vysokým teplotám v atomární, nikoliv molekulové formě), a posčítáme-li podél ní relativní atomové hmoty, najdeme hmotností deficit: 4,0015 + 1,0087 – 2,0136 – 3,0160 = -0,0194 (v jednotkách g/mol – např. 1 mol vody má zaokrouhleně hmotu 18 g/mol). A odtud dostaneme výtěžek energie (v jednotkách Joule J, resp. v kilojoulech kJ, na mol): mc² = (0,0194*0.001 / Nav) * c² * Nav, kde Nav je Avogadrovo číslo (které se ale vykrátí), takže máme (zde by prohlížeč zase měl zobrazovat mocniny 10, jako třeba miliardu 10⁹): 0,0194*0,001*(2,99792458*10⁸)² =1,75*10⁹ kJ/mol (tedy pěkných 1,75 miliardy kJ/mol). Když chceme přejít třeba k jen jednomu litru směsi D + T (za standardního tlaku a teploty), musíme to vydělit 2*22.4 litry (což zase souvisí s Avogadrovým číslem) - po přechodu na kWh dostaneme 10826 kWh (pro srovnání – roční spotřeba elektřiny jedné domácnosti činí přibližně 3500 kWh, tedy litr té směsi by stačil na jeden rok třem průměrným domácnostem).

Foto u perexu: Ukázka fungování (kvantového) Planckova popisu záření absolutně černého tělesa, jmenovitě na případu Slunce. Odkaz

XXXIII. díl seriálu: 666@Sky - Je naprosto nezbytné, aby nebe bylo blankytné [blankyt:666THz]; XXXII. díl seriálu: Odkaz

This work is licensed under CC BY-NC-ND 4.0