Dobrodružství Všehomíra – 2. Všudypřítomné fraktály

V realitě se zvláštním způsobem mísí souměrnost s nesouměrností, tedy symetrie s asymetrií. Globálně převládá asymetrie a dá se říci, že právě nezbytná míra nerovnováhy je předpokladem evoluce. Když se zamyslíme, tak asymetrie v čase je zcela zjevná: Historie má sice své zákonitosti, možná i cykly, nicméně vývoj postupuje stále dál. Doufejme, že už se do jeskyní nevrátíme. Stejně tak náš osobní život ubíhá asymetricky - od narození až ke smrti. Bylo by lákavé, kdybychom třeba dovršením 40 let začali mládnout, ale to by právě odporovalo přírodním zákonům a nejzákladnějšímu z imperativů, totiž že čas plyne stále vpřed. Někteří fyzici na to rádi zapomínají.V prostorových kategoriích je to obdobné: Nikdo nemá úplně stranově symetrickou tvář - levá a pravá polovina nejsou stejné. Žádný strom na světě nenarostl identicky s kterýmkoliv jiným. Státy mají různorodou úroveň, tradici a kulturu. Na to zase rádi zapomínají někteří polici - sjednocovači.

Rozdíly jsou motorem evoluce. Přesto i symetrie jsou předpokladem jakéhokoliv řádu. Symetrie znamená, že se zachovávají určité znaky  při transformacích (změnách souřadnic) podle osy symetrie (souměrnost podle bodu, přímky, roviny, rotačního úhlu nebo měřítka). Když rozpůlíme kružnici osou vedoucí jejím středem, získáme dvě stejné polokružnice. Když otočíme koulí jakkoliv, vypadá stále stejně. V přírodě už to tak jednoduché není. Když rozkrojíme jablko, vždycky se ty půlky budou alespoň trochu lišit. Kdybychom rozřízli podélně automobil, i když vypadá na první pohled souměrně, jen jedna půlka bude mít třeba volant. Symetrie je vždy určitá idealizace, kdy se od určitých hledisek nebo rozdílů abstrahujeme (odhlížíme od nich). Zajímavé je, že nejsymetričtější je vlastně chaos. Ať se na něj podíváme z jaké strany nebo úhlu chceme, nepořádek zůstane nepořádkem (třeba molekuly plynu).

Takže složitější věci, které v sobě nesou určitou organizaci (řád), mají kromě nezbytných symetrií i jisté penzum asymetrie. Zvláštním případem je symetrie podle velikosti (měřítka). Ať se na objekt díváme v jakémkoliv rozlišení (zvětšení), jeho struktura nám připadá stejná. Říká se tomu soběpodobnost a na ní se zakládajícím útvarům fraktály. Přestože bychom zkoumali čím dál větší podrobnosti, dostaneme stále podobný obraz. Dobrým příkladem je tvar sněhové vločky. Když se na ni podíváme podrobněji, můžeme její tvar rozložit do jakési hierarchie trojúhelníků různé velikosti. Její povrch je fráktálně roztřepený.

Nemusí jít o uzavřený tvar. Stejně fraktálně roztřepená je třeba křivka pobřeží. Ať se na linii pobřeží díváme v jakémkoliv měřítku, stále vidíme obdobnou členitost. Zajímavé je, že však délka pobřeží záleží na velikosti měřidla, jímž měříme. Kdybychom přikládali kilometrové pásmo, dostaneme menší celkovou délku, než kdybychom měřili metrem. Záleží na tom, jaké nerovnosti a „prohlubně" zanedbáváme. Kdybychom přikládali stále menší meřidla, dokonce by změřená vzdálenost rostla limitně až k nekonečnu. Ale to bychom museli „měřit" někde v hlubinách hmoty (viz odkaz níže). Proto se třeba stává, že členité hranice mezi státy si každá strana udává v jiné celkové délce.

Fraktální motivy dále můžeme v přírodě vidět třeba ve tvaru pohoří, vodních toků, oblačnosti, písečných dun, vegetaci, ale i krevního řečiště živočichů. Fraktální geometrií se dá vyjádřit třeba i rozložení děr v eidamském sýru. Vidíme však tady, že už nejde o úplnou shodu tvarů a jejich úplnou symetrii, ale že matematicky přesné tvary jsou náhodně narušovány asymetriemi. Ponechme zatím otázku náhody stranou, o tom si povíme někdy příště. Fraktální útvary však již nejsou založeny jen na čistých geometrických tvarech, ale vyznačují se tím, že čím podrobněji je zkoumáme, tím objevujeme složitější detaily  včetně drobných asymetrií. Proto je někdy lépe než o soběpodobnosti hovořit o soběpříbuznosti.

Musíme si uvědomit, jak je obtížné nalézt matematicky funkci k jen trochu složitější křivce. Prakticky je to nemožné, a to se jedná jen o dvourozměrnou elementární úlohu. Polynomická řešení (mnohočlenem) selhávají. Strukturálně složité, "kostrbaté" a ne přísně pravidelné útvary v přírodě přiléhavěji než klasická - tzv. eukleidovská - geometrie vystihuje fraktální geometrie, umožňující popsat i velmi - dokonce i nekonečně - členité tvary. Řeší se iterací (opakováním) algoritmu, využívajícího generátoru pseudonáhodných čísel.

Eukleidovská geometrie je vždy abstrakcí skutečných útvarů, zatímco fraktální geometrie odráží realitu i ve své hierarchické a ne zcela symetrické členitosti. Fraktální geometrie se snaží zachytit všechny ty prohlubně, hrbolky, nerovnosti, pokrouceniny či spletitosti reálného světa. Když to domyslíme, vždy se nakonec jedná o střídání nějakých diskrétních objektů (hmotných struktur) a prázdna, což vytváří jisté rozpoznatelné motivy a vzory, přičemž vždy existují rozsáhlé oblasti s nulovou pravděpodobností těchto objektů.

Jen na okraj poznamenávám, že z toho lze vyvodit i to, že rozměry (dimenze) takových objektů jsou neceločíselné (fraktální - tzv. Hausdorffovy dimenze). Dostávám se nyní k mé filosofii hierarchického uspořádání prostoru a hmoty, jak jsem již nastínil v předchozím článku o hmotě. Zde však onu úvahu posunu dále, až k fraktální struktuře prostorových dimenzí. Všeobecně se nyní předpokládá, že 3 dimenze, jak je svými smysly vnímáme (dopředu - dozadu, vlevo - vpravo, nahoru - dolů) vidíme proto, že jsou rozlehlé (tzv. ploché), zatímco další zbývající (celkem až 25) nevnímáme proto, že jsou malé a svinuté. Moje idea stojí na tom, že tyto dimenze vytvářejí fraktální struktury, z níž pak vzchází obraz reality. Avšak i ty dimenze jsou jen lidskými nástroji na pojmenování daleko hlubších vztahů.

Takže podle mé hypotézy vesmír je velmi členitý, strukturovaný a jakoby s rozmazanými konturami. Odráží se v tom také neustálé soupeření mezi symetriemi a asymetriemi, jehož projevem v globálních měřítcích jsou protichůdné vlivy gravitace a expanze (rozpínání) vesmíru, o čemž také pojednám někdy příště.

Fyzikové často horují pro krásu, vyplývající ze symetrií, objevených fyzikálními zákony. Dokonce to často uvádějí jako doklad rukopisu nějaké vyšší moci. Já mám na to právě opačný názor, že takové symetrie jsou jen výsledkem lidského myšlení a ještě lépe - odmýšlení, čili abstrakce: Člověk pouze ty symetrie z množiny všech asymetrií „vyzobává". Příznačné je, že lidský smysl pro krásu nestojí jen na symetriích, ale vždy vyžaduje alespoň drobné asymetrie. Zcela nepřirozeně nám například připadá lidská tvář, složená ze dvou pravých nebo ze dvou levých půlek. Naopak v přírodě se cítíme dobře, protože v ní nenacházíme čisté geometrické tvary.

Dobrou analogií je hudba, jež má na rozdíl třeba od obrazů nebo soch časový rozměr. Jednak je založena na zvratech v čase, z nichž vychází samotná melodie. Ta spočívá vlastně - na rozdíl od pouhé harmonie - na rezonančních útlumech, čili na asymetrii frekvencí. A jednak, jakkoliv řazení slok a refrénů vykazuje jakési symetrie, nejvíce nás uchvacují právě interpretační odchylky a improvizace, tedy asymetrie, kdy se nezachovává ani partitura ani naše očekávání.

Je v souladu s přírodou, že lidskému smyslu pro krásu lahodí fraktální geometrie. Čisté geometrické tvary na nás působí chladně. Představme si, že by se nám na stromě úplně symetricky urodila zcela totožná jablka. Nebylo by to reálné, naopak by to působilo tísnívě. Tohoto poznání se využívá i v počítačové animaci.

Autor látku podrobněji pojednal v těchto knihách:

VESMÍR V OVÁLU - jaký s neurčitostí není (Sázka s kosmology)

ABSOLUTNÍ VESMÍR  v reálném čase (Císařovy stoleté šaty aneb kosmologie bez cenzury)