trochu nekorektní

Pane Hample, když se Vás někdo, kdo není vysokoškolsky vzdělaný v matematice, zeptá, proč je 1+1=2, tak jediná správná odpověď je, "protože to tak funguje". Protože právě tak kdysi matematika vznikla, jako orpsté počítání věcí, které jsou okolo nás. To, že později začaly vznikat teoretické konstrukce systémů, které takové vlastnosti měly, je z toho prvotního hlediska nadstavba, která má stejně pořád za cíl vybudovat něco, co funguje tak, "jak to má být". Jistě lze navrhnout i systémy, které nemají očividný ekvivalent v přírodě nebo třeba ve fyzice, dokonce lze pomocí matematických konstrukcí pošťouchnout vývoj fyziky (a naopak), ale dokud je v naší moci si jeden objekt pojmenovat "1", druhý "2" a navrhnout na množině operaci, která dá potřebný výsledek, a pojmenovat ji sčítání, tak to není důkaz pro tuto rovnost. Lze pouze říci, že když takto navrhneme přirozená čísla a sčítání, funguje to právě tak, jak potřebujeme. Ale ono je to tak navrženo, aby to fungovalo, jak potřebujeme,

Povedla se vám

věru pěkná a dlouhá matlanina. A docela chápu lidi, které matematika děsí - ty totiž asi učil někdo takový, jako Vy. Stačí totiž vzít těch pět axiomů a definovat sčítání: x+1 = x'. A pak říct, že následovníka jedničky budeme značit 2. Je to jasné, korektní a vejde se to i komentářem na tři a půl řádku 

Re: Povedla se vám

...dokonce jen dva a půl řádku (editor příspěvku je má nějaké kratší)

Jak vyplynulo i z diskuse,

vycházíte z předpokladů, které neuvádíte. Kdybych byl zvídavé dítko, ptal bych se určitě dál.

Re: Jak vyplynulo i z diskuse,

Není v článku místo, abych zavedl korektně axiomaticky všechny vlastnosti přirozených čísel. O tom také ten článek nebyl. Předpoládám ale alespoň elementární znalosti matematiky. Jestliže hovořím o množině všech přirozených čísel, pak jasně předpokládám onu platnost výše zmíněných axiomů, bez kterých by ani přirozená čísla nebyla tím matematickým tělesem, jakým jsou. V článku jsou jen uvedeny axiomy, které množinu jako takovou zavádějí a na kterých je postaven onen důkaz (některé axiomy definující vlastnosti N jsou tam jen zmíněny). Podobně není v článku místo, abych korektně rozpracoval konstrukci přirozených čísel definovaných a zavedených Peanovými axiomy. Opět to nebylo účelem článku (ale mohu napsat jiný článek, kde třeba konstrukci této množiny korektně popíšu). Obávám se, že kdybych do článku zakomponoval úplně vše, článek by byl pro absolutní většinu lidí naprosto nečitelný a to i přesto, že s množinou všech přirozených čísel je většina lidí tzv. zvyklá pracovat.

.

Hm, tak kvůli podobné matematice jsem vyletěl z "vejšky" jako namydlený blesk. Tohle můj rozum prostě nebere a brát nikdy nebude.

proof should be easy and age appropriate

Coz takhle nakreslit na tabuli cervene jablko a zeptat se kolik cervenych jablek je na tabuli. Pak nakreslit vedle zelene jablko a zeptat se kolik zelenych jablek je na tabuli. Pak obe jablka zakrouskovat a zeptat se kolik jablek je v krouzku?

Moji zaci by tento "dukaz" pochopili. S Vasim by meli velke problemy... Ale samozrejme nechci podcenovat ceske zacky potrebujici tento dukaz...

Re: proof should be easy and age appropriate

Taky jsem pomyslel na tento primitivní příklad, jenomže to není matematický důkaz, tedy že to platí vždy a všude.V tomto případě třeba ano-alespoň v desítkové soustavě a v přirozených číslech.V binární soustavě už platí jak (už tu bylo řečeno) 1+1=10 a u součtu reálných čísel v počítači se na přesnost výpočtu 1+1 = čistá 2 nemůžeme spolehnout vůbec.

Spíše se zaměřit na to,na co se vlastně žák ptá a co se mu dá vysvětlit nebo dokázat To že existuje jistá dohodnutá uspořádaná řada grafických symbolů 1,2,3,).. to se logicky odvodit nedá,podobně ani jejich fonetický převod (jedna, dvě, tři..),obojí se bude muset žáček naučit nazpaměť.Čili mu stačí dovysvětlit, že tyto naučené symboly se od sebe liší právě tím,že v řadě dva vedle sebe stojící se hodnotově liší právě o numerickou hodnotu 1.Když připočteme ke grafickému symbolu 1 numerickou hodnotu 1,výsledkem je symbol napravo od něj, tedy 2.Když k symbolu 2 připočteme opět hodnotu 1,dostaneme třetí naučený symbol 3.

Možná jsme zapomněli jak znělo původní zadání

Tedy, že by to měl vysvětlit učitel zvídavému žáčkovi. Pokud možno v době kdy ho to sčítání 1+1 =2 učí. A to už je problém, protože výrokovou logiku mu začne vysvětlovat odhadem za 8 let na střední škole.

Takže, v době, kdy do něj hustí sčítání, mu musí odpovědět, "Důkaz samozřejmě existuje, ale ten by jste nepochopili!. tak se to pěkně naučte nazpaměť... Jestli není problém celého školství právě v tom že učitel není schopen žákům látku vysvětlit na takové úrovni aby jí mohli pochopit.

A řešení pochopitelně nikoliv v tom, že by se měly přednostně učit sekundární (složitější) konstrukce a znalosti , aby se na jejich základě terciálním aparátem odvozovaly ty požadované jednodušší - i o to už se naše školství neúspěšně pokoušelo. Ale v celkovém pohledu na naše školství o tom co by se vlastně mělo učit, jak to učit, a co by mělo být výsledkem. A asi nejenom v matematice...

Re: Možná jsme zapomněli jak znělo původní zadání

Nevím, zda si tohle přečtete, ale i Vaše úvaha není zcela přesná.

Účelem školy je sice předat dětem nějaké ty znalosti, ale není to účelem primárním! Odhaduji, že tento účel je cca na třetím místě.

Prvotní účel školy je bezpečně zavřít děti na většinu pracovního dne, aby se uvolnila pracovní síla rodičů (tedy alespoň matky). Sekundárním účelem je trénink dětí v sociálním chování (poslušnost a podřízení se, odpovědnost, schopnost učit se, schopnost reagovat na ostatní jedince ve společnosti, vytvoření a akceptace hierarchie (tam patří i šikana), trénink paměti, logického uvažování, hygienické návyky...)

Teprve terciálním přínosem školy je zápis vybraných (a z 90% zbytečných) informací do dětských mozečků.

Nejsa matematikem

není mi jasné, jak jste došel k následujícímu: jestliže y=1, pak zaveďme x + y = x' - OK, to je definice operace sčítání. Jestliže y <> 1, potom položme z' = y, přičemž z je z množiny N (OK, axiom A4). Z čeho ale plyne, že se dá psát x + y = (x + z)'? Proč by měla operace "být následovníkem" komutovat se závorkováním? Navíc, to x + y = x' platí jen pro y = 1, takže psát x + y = x´ + z´ = ( x + z )´ mi připadne nekorektní.

Re: Nejsa matematikem

1) z´ = y znamená, že je o jedničku menší, než y a odtud x + y = (x + z)'.

2) S komutativním zákonem to nemá nic společného, ten jen tvrdí, že x + y = y + x

3) Rovnost: x + y = x´ + z´ = (x + z)´ neplatí. Ale platí: x + y = x + z´ = (x + z)´.

Ted je vse korektni, protože z je o jednicku mensi nez z´.

nevychazim z uvidum

konecne nejaky clanek, ktery me nechal premyslet. Ktery se tykal tematu a nevybocoval k ne-smysluplnym diskuzim o .... ( no, nebudu to kazit). Moc dekuji.

Mimochodem, nevite nahodou o nejakem casopise nebo strankach, kde bych si mohl svuj mozek provetrat casteji? :)

Re: nevychazim z uvidum

Výborné stánky jsou třeba tyto:

http://kubaz.cz/cs/

Ale je jich daleko více, stačí zadat math do vyhledávače a můžete přemýšlet pořád...

Mimochodem, dá se přemýšlet do aleluja při konstrukci tzv. nerozumných funkcí, například funkce f, kde D(f) = R, přičemž neexistuje bod, v němž by byla funkce f spojitá.

Mějte se fajn, Radek Hampl

No nevím

Při programování jsme se učili, že 1 + 1 = 10

A jak vůbec víte, že platí ty axiomy? Kde je důkaz?  Teoreticky můžu pronést libovolný blábol (např. Paroubek má sexy mozek) a tvrdit, že je to axiom!

Re: No nevím

Axióm je právě od toho axióm, že se nedokazuje. Pokud by šel dokázat, byla by to věta. Takže ano, věta "Paroubek má sexymozek" by mohla na axióm být navržena. Problém je v tom, že na platnosti axiómu se musí shodnout vědecké autority v oboru. A v případě sexymozku si nejsem jistý, jestli tu je dostatek autorit, které by to zodpovědně za axióm mohly prohlásit.

Nesouhlasím!!!

Dvojka je samostatná, svébytná entita, která nikdy nemůže být ztotožněna s pouhým nakupením libovolného množství jedniček.

Re: Nesouhlasím!!!

Mno, to asi ne...