Hotel Nekonečno.

Jde o teorii, kterou si vymyslel matematik - David Hilbert, když se snažil přijít na to, co nekonečno vlastně je. Já jsem na Hotel nekonečno poprvé narazil na Netflixu v pořadu nazvaném Hledání nekonečna.

O co jde?

Jde o to, že teoreticky existuje hotel, který má nekonečně mnoho pokojů. Všechny pokoje jsou obsazené, a přesto je možné v něm ubytovat další hosty. Prý stačí jen málo. Každého již ubytovaného hosta přesunout do pokoje s číslem o jednu vyšším, než je číslo, ve kterém je ubytován. Tím se uvolní pokoj č. 1 a je možné ubytovat nového hosta. V teorii jsou uvedeny i možnosti, jak pomocí matematických – tedy teoretických - postupů ubytovat další hosty. Podle matematiků je na základě těchto postupů možné v Hilbertově zcela obsazeném hotelu dodatečně ubytovat až nekonečně mnoho nekonečných počtů hostů.

Taková tvrzení jsou naprosté logické nesmysly (paradoxy). Logické nesmysly znamená, že postrádají logiku. Z ní vyplývá, že pokud chce Hilbert ubytovat v hotelu další hosty, pak v hotelu musí být volné pokoje v počtu odpovídajícím počtu nově ubytovávaných hostů.

Další filozofické hledisko říká. Pokud použijeme termínu „všechny pokoje jsou obsazeny“, pak to, s vědomím si požadavku na přesnou definici pojmů, znamená, že obsazeny jsou všechny pokoje. Pokud jsou obsazeny všechny pokoje, pak žádný pokoj není prázdný. Z toho vyplývá, že se žádný host nemůže přestěhovat do pokoje, který by byl neobsazen. Slovo „neobsazen“ zdůrazňuji.

Všechny pokoje jsou obsazeny, to znamená, že není žádný pokoj volný. Na tom nikdo nic nezmění. Tedy ani Einstein a ani žádní jiní matematikové vycházející z představy, že jimi použité matematické postupy umožňují ubytovat v hotelu další hosty. Problém je v tom, že matematické (tedy čistě teoretické postupy) nemohou zařídit, aby se v reálném světě (hotelu) našel volný pokoj. Pokud by měl být v uvedeném hotelu alespoň jeden pokoj volný, bylo by nutné použít termín „kromě jednoho pokoje“ nebo „až na jeden pokoj“, jsou všechny pokoje obsazeny.

Jiné filozofické pravidlo – pravidlo o vztahu příčiny a následku – říká. Rozhodnutí pana Hilberta přestěhovat všechny hosty do pokoje s číslem o jednu vyšším, než v kterém jsou ubytováni, není a nemůže být příčinou, která má za následek nález jednoho neobsazeného pokoje. Stejné pak platí i v případech matematických postupů, které mají být podle matematiků příčinou následků, kterými bude nález dosud neobsazených pokojů. Pouhá mocnina prvočísla nebo jakýkoliv jiný matematický úkon nemohou zapříčinit uvolnění nebo nalezení jakéhokoliv pokoje v hotelu, v němž jsou všechny pokoje obsazeny.

Pokud chtějí matematikové tvrdit, že v daném hotelu je možné ubytovat další hosty, pak to není možné vyložit jinak, než tak, že jsou natolik okouzleni možnostmi, které poskytují jednotlivé způsoby práce s čísly, že ne zcela správně chápou vztah mezi matematickým abstraktnem a skutečným životem.

Dále pak. Pokud opět použijeme filozofii a z ní pak pravidlo přesné definice pojmů, pak zjistíme, že tvrzení, že hotel má nekonečně mnoho pokojů a první pokoj má číslo 1, je tvrzení dokazující nepochopení reality. Pokud chceme mluvit o nekonečnu, jako takovém, pak si musíme připustit, že to, co nazýváme nekonečnem, nemá vůbec žádný konec (odtud termín „nekonečno“). Že jde o něco, co není nikde ohraničeno. Nemá to začátek a ani konec.

V případě řady, kterou představuje řada pokojů, pak můžeme mluvit o nekonečnu jen v tom případě, že nekonečno nebude od místa, na kterém se nacházíme, nikde ohraničeno nejen směrem doprava, ale že nebude nikde ohraničeno ani směrem doleva.

Zde se však mluví o pokoji, který má číslo 1. Mluví se o začátku řady, která směrem doprava nikde nekončí, ale nesměřuje směrem doleva. Směrem doleva končí (začíná) před námi, v pokoji č. 1. V tomto případě, v případě, kdy máme pokoj č. 1 a nekonečný počet pokojů za ním nemůžeme použít termín „nekonečný počet pokojů“. Musíme použít termín „řada pokojů, která začíná číslem 1 a nikde nekončí“.

Je otázka. Jaký je rozdíl mezi nekonečnem pokojů a řadou pokojů, která začíná jedničkou, ale nikde nekončí? V obou případech máme přece stejné. Máme nekonečný počet pokojů.

To je pravda. Je zde však jeden podstatný rozdíl. Rozdíl vyplývá z použité formulace.

V prvém případě (v případě nekonečna) mluvíme o naprosto abstraktním a tedy žádnou konkrétní hodnotu (věc, řadu apod.) nevyjadřujícím pojmu. Mluvíme o něčem, co má jen jednu variantu – nekonečno. Mluvíme o jednom, řekl bych celku. Termín „celek“ je však vnímán jako určitý konkrétní útvar, který má svoje rozměry. Proto bude lepší použít termín „entita“. V prvém případě tedy mluvíme o jedné entitě a ta není nikde a nijak ohraničena.

V druhém případě mluvíme o nekonečné řadě. Mluvíme o něčem konkrétním, o něčem, co v sobě zahrnuje obě varianty – jak nekonečnou, tak i konečnou řadu. Řada je konečná, i když končí jen na jedné straně. Na té jedné straně má konec. A pokud v druhém případě použijeme jakýkoliv výraz, který znamená začátek nebo konec řady, pak nemůžeme tvrdit, že jde o nekonečnou řadu. Máme řadu, která má někde svůj začátek, ale nemá konce (běží do nekonečna) nebo o řadu, která nikde nezačíná (běží z nekonečna), ale má svůj konec. Mluvíme tedy o dvou rozdílných pojmech. Z toho vyplývá, že nechceme-li se dostat do problémů s obsahem toho, o čem mluvíme, musíme rozdíl mezi obecným (nekonečno) a konkrétním (řada, která nikde nekončí, případně nikde nezačíná), respektovat.

Pokud jde o možnost ubytovat v hotelu nekonečně mnoho nekonečen hostů (viz nekonečně autobusů a v každém nekonečno cestujících). Tady nevím, jak to okomentovat. To je důkazem míry ukazující, jak moc si matematikové dovolí popustit uzdu své fantazii a při tom se vůbec nestarají o to, zda jejich závěry odpovídají nejen skutečnému životu, ale ani obsahu termínů, které při svém vyjadřování používají. Jak jinak by mohli přijít s tvrzením, že do jedné řady pokojů začínající č. 1 a nikde nekončící, je možné ubytovat nekonečně mnoho nekonečen dalších hostů a při tom dodržet pravidlo, že v jednom pokoji je jen jeden host.

Do jednoho nekonečna nelze vměstnat nekonečna dvě. Natož pak nekonečno nekonečen.

Aby bylo možné ubytovat nekonečně mnoho nekonečen dalších hostů, muselo by být v každém pokoji ubytováno nekonečné množství hostů.

A nyní k dalšímu problému.

Na internetu je malá odbočka, v níž je položena otázka, jak vyplnit mezeru mezi jednotlivými číslicemi? Je tam, uvedeno několik variant, z nichž jedna zřejmě byla podkladem pro tvrzení o možnosti ubytování nekonečného počtu nekonečen hostů. Ta vychází z poznání, že mezi celými čísly je vždy mezera, do které je možné vepsat další čísla, tentokrát v podobě desetinných čísel. Konkrétně je tam použit příklad 0 a k ní je přidána otázka, jaké číslo bude následovat? Bude to 0,0001? Nebo snad 0,00000001? Závěrem je konstatováno, že možností je nekonečno.

A v tom je problém. Když jsem se ve své knize, kterou připravuji k vydání pod názvem Albert Einstein versus Thomas Hobbes, pokoušel vysvětlit co nekonečno vlastně je, nechal jsem se touto úvahou ovlivnit. Po chvíli psaní jsem si uvědomil, že matematický zápis v podobě desetinného čísla, začínajícího nulou, pokračujícího desetinnou částkou a za ní pak dalšími nulami není možné jako matematické zdůvodnění (vyjádření) nekonečna použít.

Tento způsob zápisu by snad bylo možné nanejvýš použít pro zápis nekonečně malé velikosti. V matematickém výrazu uvedeném výše se vychází z nuly, za ní je desetinná čárka. To znamená, že nejde o celek, ale jen o jeho část. Při pokusu o převod těchto slov do matematiky však narazíme na problém. Tím problémem je rozdíl mezi slovním vyjádřením nekonečně malá část a možností matematiky. To, co slovy vyjádřit lze, není vždy možné do matematiky (do její řeči čísel) převést. Proto nelze v matematice ani využít termín nekonečně malá, protože nikdo neví, jak tento slovní termín vyjádřit pomocí čísel. Jediné, co víme, je to, že musíme začít nulou, za ní bude následovat desetinná čárka a za ní pak nekonečná řada nul. Zdůrazňuji. Musí jít o nekonečnou řadu nul, protože pokud na jakékoliv místo za desetinnou čárkou umístíme jedničku, pak řadu nul ukončíme a zůstane nám řada nul zakončená jedničkou. A to i v tom případě, že za použitou jedničkou budou nuly pokračovat. Vždy to již bude řada nul za desetinnou částkou, která byla ukončena (nebo přerušena) jedničkou. Jednička umístěná v řadě nul na jakémkoliv místě znamená, že tvrzení o nekonečně malé nelze použít, protože někde v dohlednu máme umístěnu hodnotu, která nám v cestě k nekonečně malému zabraňuje.

Poněkud odbočím. I ve výše uvedeném textu je chyba. Aniž bych si to původně uvědomil, mluvím o nekonečně malé části – viz 0,0001 nebo 0,00000001 a v následujícím textu používám termín nekonečně malá. Jak jednoduché je přejít od konkrétního k obecnému. Konkrétní je nekonečně malá část a obecné je nekonečně malá. Nekonečně malá je obecný termín. Zahrnuje nejen nekonečně malou část, ale i celou řadu nekonečně malých celků jako je např. kulička, kapka atd. Stačí vynechat jedno slovo a mluvíme o něčem zcela jiném. Proto je nutné vždy si ujasnit (přesně definovat), o čem mluvíme.

A nyní zpět k matematice. Albert Einstein ve svých výpočtech v článku K elektromechanice pohybujících se těles v příkladu uvedeném v § 3 tvrdí, že za neznámou hodnotu vyjádřenou v první rovnici symbolem x´ lze zvolit nekonečně malé. V následující rovnici pak místo x´ uvedl číslici 1. Einstein vyjádřil v druhé rovnici termín nekonečně malé číslicí 1 bez jakéhokoliv dalšího doplnění. Doplnit číslici 1 ani nemohl, protože mu to matematika nedovoluje. Podle mne číslice 1 použitá v jakémkoliv matematickém výpočtu nemůže v žádném případě vyjadřovat jakoukoliv fyzikální veličinu. Číslice 1 použitá ve výpočtu je čistě matematický (tedy zcela abstraktní) výraz vyjadřující stejně dobře 1 nejmenší část projevu hmoty, která existuje nebo kterou si dovedeme představit, jako 1 soubor označovaný slovem vesmír. Může označovat cokoliv jiného. Jakoukoliv jinou velikost nacházející se mezi těmito dvěma hranicemi. Kdyby Einstein v textu mezi oběma rovnicemi místo nekonečně malá, uvedl, že použije Zemi, sluneční soustavu, mléčnou dráhu nebo vesmír a v následující rovnici pak za x^’ dosadil 1, vždy by byl výsledek rovnice číselně naprosto stejný. Podle svého tvrzení by Einstein sice počítal s různě velkými celky, ale matematicky – v rovnici – by mu vždy vyšel stejný číselný výsledek.

Jedinou možností, jak docílit toho, aby číslice 1 vyjadřovala nekonečně malé, by bylo dosadit do matematického výpočtu výše uvedené slovní upřesnění číslice 1. Muselo by být v rovnici uvedeno „1 nekonečně malá část“. S takovým výrazem se však počítat nedá.

I když. V této souvislosti se nemohu vyhnout několika odkazům.

V prvním George Ganov ve své knize Moje světočára odkazuje na výrok Šumanovského (profesora na Oděské universitě v době okolo říjnové revoluce), který položil studentovi otázku, co dostane, když vynásobí 5 taxikářů 3 svícny. Student nevěděl. Šumanovskij řekl, že 15 taxíkářosvícnů. A z kontextu vyplývá, že to myslel vážně.

V druhém pak nemohu neodkázat na Stephena Williama Hawkinga, který ve své knize Stručná historie času, konstatoval, že princip neurčitosti omezuje teoretické fyziky méně než fakt, že s výjimkou nejjednodušších případů neumí rovnice řešit přesně.

A ve třetím případě nemohu pominout konstatování von Neumanna, který uvedl Michio Kaku ve své knize Dále než Einstein. Jde o konstatování, že v matematice věcem nemusíte rozumět, prostě si na ně musíte zvyknout. Pokud se matematikové sami o sobě vyjadřují uvedenými způsoby, pak k tomu nelze nic dodat.

Ale abych dokončil téma. Téma hledání nekonečna.

Na Netflixu v uvedeném pořadu vystupuje několik teoretických fyziků, matematiků a filozofů a mimo jiné v něm uvádějí svoji představu nekonečna.

Moje představa obsažená v mé zmíněné knize vychází z pokusu znázornit nekonečno pomocí nuly, za ní desetinné čárky a dále pak řadou nul. Posléze jsem dospěl k závěru, že nehledám vyjádření jakékoliv části, jak to naznačuje použití verze nula, za ní desetinná čárka a za ní řada nul. Uvědomil jsem si, že hledám vyjádření celku.

I nekonečno, jako takové, je celek. Proto jsem vyšel z výše uvedeného matematického zápisu, konkrétně však z té jeho části, která je před desetinnou čárkou a která vyjadřuje celek. Vyšel jsem z nuly umístěné před desetinnou čárkou a z původní představy jsem nejprve odstranil desetinnou čárku a nuly za ní. Zbyla mi tedy jen nula před desetinnou čárkou. Tedy nula, jako grafické znázornění ničeho. Následně jsem onu nulu považoval za střed, od kterého běží na všechny strany, které koule dovoluje, nekonečno. Tedy nic. Je tam něco, v čem nic není, co nic nevyplňuje a co nemá žádnou konkrétní podobu. Prostě nic, které běží pryč, směrem od středu na všechny strany, až do nekonečna. Problém této představy však byl ve faktu, že daná představa má svůj střed. Má tedy začátek všech směrů, které od středu běží pryč. Tato představa proto nemůže být představou nekonečna, protože všechny od středu směřující směry mají svůj začátek právě v onom středu. Abych mohl mluvit o nekonečnu, musel jsem ze svých představ odstranit i onen střed – tedy nulu, která střed až do této doby představovala. Pak jsem si dovedl představit nekonečno. Střed zmizel a místo něho nebylo nic. Tedy nic ani ve středu a ani nikde jinde. Všechny směry, které původně ze středu vybíhaly, se spojily v jeden celek, v němž nic nebylo. Absolutně nic. Získal jsem představu nekonečna ve smyslu nic ve všech směrech, ve kterých ho budu pozorovat.

Pro úplnost musím podotknout, že uvedená představa je představou nekonečna, jako toho nejobecnějšího pojmu, který člověk při vyjadřování používá. V žádném jiném případě není možné tuto představu nekonečna použít.

A filozofie vystrčila svoje dlouho skrývané drápky a zatřásla piedestalem neomylnosti matematiky. Za čtyři týdny ve stejnou dobu a u stejného tématu bude hůř.