Hotel Nekonečno – II

Gribbin v knize Schrödingerova koťata zmínil něco, co zřejmě nejvýstižněji charakterizuje postoj lidí majících nejvyšší matematické vzdělání. Jde o názor, že jejich závěry jsou správné, i když odporují zdravému rozumu.

Jsem si vědom faktu, že nemám v matematice a ani v teoretické fyzice nejvyšší možné vzdělání. To mi však nebrání, abych měl svoje názory a představy o tom, co jsem se dozvěděl a nepokusil jsem se je sdělit ostatním. O existenci práva na svobodu projevu snad nikdo nepochybuje.

Kromě toho. Jako reakci na výše uvedené tvrzení, je nutné se ptát. Jaký rozum může tvrdit, že zdravý rozum nemá rozum?

A nyní k tématu samotnému.

Na Netflixu je v pořadu Hledání nekonečna u Hotelu nekonečno uvedeno, že pokud by manažerka chtěla zkontrolovat všechny pokoje. Pak by na kontrolu všech potřebovala 1 jedinou minutu. K takovému výsledku by došlo v případě, že by manažerka první pokoj zkontrolovala za půl minuty a každý další za polovinu času, který potřebovala ke kontrole předchozího pokoje.

To je tvrzení, které odporuje zdravému rozumu logickému, zdravému rozumu praktické, ale i teoretické fyziky stejně jako zdravému rozumu matematickému.

Zdravý logický rozum říká. Dosažení součtu 1 v daném příkladu brání pravidla logiky. S ohledem na její pravidla, je nutné konstatovat, že kontrola pokojů v hotelu, který má nekonečný počet pokojů, by nikdy neskončila, protože by neexistoval pokoj, který by bylo možné označit za poslední, který bylo potřeba zkontrolovat. U nekonečného počtu pokojů poslední pokoj neexistuje, a proto by ani jejich kontrola nemohla nikdy skončit. Jinak řečeno, bylo by nutné neustále připočítávat čas potřebný ke kontrole dalšího a dalšího pokoje. Matematická řada, která by v tomto případě vznikla, by neměla konce, a proto by nebylo možné přičítání dalších časů ukončit. Za žádný matematický člen nebylo možné napsat znaménko =.

Zdravý rozum praktické fyziky říká. V tomto případě není respektován fakt, že se ředitelka také musí přemísťovat z jednoho pokoje do druhého. Proto by kontrola, při zvolené argumentaci, nemohla být provedena za 1 minutu. Kontrola nekonečného počtu pokojů by vedla k nekonečnému počtu časů potřebných k přesunu z jednoho pokoje do druhého, a proto by jen součet časů potřebných k přesunu mezi jednotlivými pokoji nutně přesáhl čas jedné minuty. Důvodem je skutečnost, že o čase potřebném k přesunu se v uvedeném příkladu nemluví. Proto pro něj nejsou stanoveny žádné konkrétní předpoklady. Proto je nutné vycházet z životem nesčetněkrát ověřené praxe. A protože bez přesunu z jednoho pokoje do druhého by nebylo možné provést kontrolu dalšího pokoje, je nutné s časy potřebnými k přesunům mezi jednotlivými pokoji počítat.

Zdravý rozum teoretické fyziky říká. Zkracování času kontroly by muselo být doprovázeno zvyšováním rychlosti, kterou se ředitelka při kontrole v kontrolovaném pokoji pohybuje. To by v případě většího počtu kontrolovaných pokojů (to je i případ nekonečného počtu pokojů) muselo nutně vést k tomu, že by se ředitelka musela při kontrole pokoje pohybovat rychlostí rovnou a následně i rychlostí vyšší, než je rychlost světla. A to je podle současných poznatků zcela nemožné. A co víc. Protože jde o nekonečný počet kontrolovaných pokojů, pak by rychlost, kterou by se ředitelka při kontrole jednotlivých pokojů pohybovala, musela neustále zvyšovat a tento proces by nikdy neskončil.

Tvrzení o výsledku součtů časů potřebných ke kontrole pokojů v hotelu Nekonečno je nutné alespoň nějak dokázat. Důkazem, který má závěr o součtu časů potřebných ke kontrole všech pokojů za 1 minutu zdůvodnit je příklad: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... = 1. V takovémto sčítání je, podle tvrzení uvedeném v daném pořadu, prý vždy výsledkem číslo jedna. Proto manažerka mohla zkontrolovat všechny pokoje za jednu minutu.

Co na to zdravý matematický rozum? Ten tvrdí, že něco takového je zcela nemožné, protože na začátku nemáme nic. Nebo též máme 0. Do výsledku 1 nám tak chybí hodnota 1. Po kontrole prvního pokoje k nule připočtěme polovinu uvedeného rozdílu, tedy hodnotu 1/2. To je základní čas, který potřebuje manažerka ke kontrole prvního pokoje. Vyjde nám 0 + 1/2 = 1/2. Do součtu v hodnotě 1 nám chybí hodnota posledního připočteného člena – tedy 1/2. Pokud k dosaženému výsledku připočteme jednu polovinu předchozího času, tedy 1/4 minuty, pak dostaneme 1/2 + 1/4 = 3/4. První zlomek vyjadřující čas vynásobíme číslicí dvě a dostaneme 2/4. Jinak řečeno. Jedna polovina se skládá ze dvou čtvrtin, a pokud k nim připočteme další 1/4, dostaneme 3/4. Do součtu v hodnotě 1 nám opět chybí hodnota posledního připočteného člena – tedy 1/4. Pokud k danému součtu ve výši 3/4 připočteme polovinu hodnoty posledního člena, tedy 1/8 dostaneme výsledek 7/8. Opět. První zlomek poslední uvedené rovnice vynásobíme číslicí dvě a dostaneme 6/8. Tři čtvrtiny se skládají z 6/8. K nim připočteme 1/8 a dostaneme výsledek 7/8. Do hodnoty čísla 1 nám tak chybí 1/8. Opět hodnota posledního připočteného člena (hodnota času potřebného k prohlídce posledního kontrolovaného pokoje). Pokračujme dál. 7/8 + 1/16 = 15/16. I v tomto případě vynásobíme první zlomek číslicí dvě. Důvodem je skutečnost, že 7/8 se skládá ze 14/16. Připočteme k tomu další 1/16 a dostaneme výsledek 15/16. Opět nám do čísla jedna chybí hodnota posledního připočteného člena, tedy 1/16. Dále pak 15/16 + 1/32 = 31/32. Opět. První zlomek vynásobíme číslicí dvě a dostaneme výsledek 30/32. Následně připočteme další 1/32 a dostaneme výsledek 31/32. Opět nám do čísla 1 chybí hodnota posledního připočteného člena, tedy 1/32. A tak můžeme pokračovat donekonečna. Vždy bude výsledek stejný.

Co říká filozofie? Ta říká, že chybou původního zdůvodnění je nerespektování objektivní reality. Chyba v tomto případu je, že žádným způsobem nevysvětluje fakt, jak mohla manažerka zkontrolovat první pokoj za půl minuty, druhý za čtvrt minuty, třetí za jednu osminu minuty a každý další pokoj za polovinu času potřebného ke kontrole předchozího pokoje. Tak krátké časy jsou, zvláště u pokojů s vyššími čísly, pro řádnou, ale i jen povrchní kontrolu, v praktickém životě, zcela nemožné. To nemluvím o potřebě času nutného k přemístění se z jednoho pokoje do druhého. Jinak řečeno. V praktickém životě kontrola i menšího počtu pokojů za jednu jedinou minutu možná není. Pokud není možná v případě menšího počtu pokojů, pak není možná ani v případě, že existuje nekonečné množství pokojů.

Že je to možné teoreticky? Samozřejmě. Ale k čemu je nám teorie, když nerespektuje podmínky praktického života? Jde vůbec o, v praktickém životě, použitelnou teorii? Nejde v tomto případě spíše o sci-fi?

Proč filozofie mluví o praktickém životě? Přece proto, že každá činnost člověka má být zaměřena na uspokojování potřeb určitého kolektivu lidí a ne jen na uspokojení potřeb jedince. Úvahy na toto téma – téma vztahu jedince a kolektivu - však patří do jiné mnou připravované knihy. Proto se vrátím k hotelu Nekonečno.

Příklad hotelu Nekonečno lze shrnout tak, že matematikové si vymysleli reálnému životu neodpovídající příklad. Jako jeho řešení vyslovili logice, matematice, fyzice a reálnému životu odporující závěry a ty vydávají za reálnou možnost řešení konkrétní životní situace.

Jako další tvrzení uvedené na Netflixu v pořadu Hledání nekonečna, je uvedeno, že nekonečno, jako takové, v jeho nejobecnější podobě, je možné zařadit do matematických rovnic. K tomu jsou uvedeny následující příklady nekonečno = nekonečno. K tomu je přidáno: nekonečno + 1 = nekonečno což prý po odstranění nekonečna z obou stran rovnice dá výsledek 1 =0. Druhá rovnice pak vypadá takto: nekonečno = nekonečno. Tu je prý možné doplnit na podobu nekonečno + nekonečno = nekonečno. Pokud pak opět z obou stran této rovnice odstraníme nekonečno, dostaneme výsledek nekonečno = 0. Oba výsledky 1 = nula a nekonečno = 0, jsou i pro matematiky problémem.

Aby nebyly. Vždyť tvrzení, že jedna se rovná nule stejně jako tvrzení, že nekonečno se rovná nule, jsou z pohledu praktické matematiky nesmysly. K vyřešení uvedených nesmyslů snad stačí konstatovat, že oba výsledky sice odporují zdravému rozumu, ale protože k nim dospěli lidé s nejvyšším možným matematickým vzděláním, tak jsou správné. Bylo by rovněž možné použít konstatování, na něž jsem upozornil v předchozím blogu, konstatování, že v matematice není nutné věcem rozumět. Je nutné si na ně zvyknout.

Mně to ale nedá.

Základy matematiky, které se učí děti již v první třídě, říkají, že obě strany rovnice musí být vždy rovny. Od tohoto faktu je pak odvozen i název – rovnice. Pokud se nerovnají, pak je ve výpočtu nebo v zadání chyba a o rovnici nejde. Dětem v první třídě to uvedenými slovy říkáno není. Dětem vštěpují, že 1 + 1 = 2. Tedy s využitím číslic, ale přesto je to to samé. Tohle pravidlo je jedním ze základních pravidel matematického zdravého rozumu. Jinak řečeno. Pokud má být výpočet správný, není možné uvedené pravidlo pominout. Je tedy otázka. Jak mohli matematikové dojít k výsledku, že 1 = 0 nebo, že nekonečno = 0?

Zkusme problém zkoumat od počátku. Na začátku byla rovnice nekonečno = nekonečno. V případě této rovnice je zmiňované základní matematické pravidlo dodrženo. Obě strany rovnice se rovnají. Po té následovala rovnice nekonečno + 1 = nekonečno a další rovnice nekonečno + nekonečno = nekonečno. Když se na ně podíváme, je na první pohled patrné, že v jejich případě bylo výše zmiňované pravidlo porušeno. Levá strana rovnice je větší, než její pravá strana. Pro lepší názornost. Jiný zápis těchto, jak matematikové tvrdí, rovnic je 1nekonečno + 1 = 1nekonečno, resp. 2nekonečna = 1nekonečno. Tenhle zápis snad tluče do očí poněkud více. Správný matematický zápis uvedeného stavu, alespoň podle mých matematických znalostí, je nekonečno + 1 se nerovná nekonečnu a v druhém případě nekonečno + nekonečno se nerovná nekonečnu.

Pokud však i přesto chce někdo tvrdit, že nemám pravdu, pak ať vysvětlí, proč jsou levé strany rovnic zvětšeny v prvém případě o hodnotu 1 a v druhém případě o hodnotu nekonečno, zatímco jejich pravé strany zůstaly nezměněny? S odpovědí zdůvodňující stav pravé strany obou rovnic, podle níž nekonečno je nekonečno, a proto na něm nelze nic měnit, nemohou obstát. Důvodem je skutečnost, že nekonečno je i na levé straně obou rovnic a přesto je k němu na levé straně přidána určitá hodnota. Pokud je nekonečno jen jedno jediné a k němu není možné nic přidávat, pak tento argument musí, v souladu s výše uvedeným základním matematickým pravidlem, platit pro obě strany rovnice. Pokud uvedený argument pro obě strany rovnice neplatí, pak je sám o sobě špatný.

Proč? Zřejmě protože k oběma stranám rovnice přistupují matematikové z různého pohledu. Na levé straně rovnice chápou nekonečno jako grafický symbol pro určitou objektivní entitu. A protože jde o grafický symbol, který je konečný, pak je možné k němu připojit další grafický symbol ať již v podobě 1 nebo v podobě nekonečna. Pokud by k výrazům uvedeným na levé straně rovnice nepřistupovali jen jako k určitým grafickým symbolům, ale přistupovali by k nim jako ke skutečné entitě, pak by museli i pro levou stranu rovnic vycházet z toho, že nekonečno je jen jedno a nelze ho jakkoliv upravovat.

Vedle toho. K pravé straně rovnic přistupují tak, že v nich uvedený grafický symbol je vyjádřením něčeho konkrétního. Nějaké konkrétní entity z reálného světa. V tomto případě nevidí ležatou osmičku, ale vidí reálné nekonečno. A reálné nekonečno je jen jedno a proto k němu nelze nic přidávat. A nutno dodat, že ani od něj nic ubírat.

To je, podle mne, vysvětlení vzniku nesmyslu, který je uveden ve výše zmíněném pořadu.

Logika, která je součástí filozofie, vychází z principu logické úspornosti nazývaný podle anglického logika Williama z Ockhamu (žil v letech 1287–1347) Occamova (Ockhamova) břitva. Ta se může interpretovat dvěma mírně odlišnými způsoby, přičemž první říká: Pokud pro nějaký jev existuje vícero vysvětlení, je lépe upřednostňovat to nejméně komplikované. S využitím tohoto pravidla můžeme pro uvedený případ konstatovat, že pokud v matematice vyjde jako konečný výsledek logický nesmysl, pak musí být chyba buď v zadání nebo v některém matematiky provedeném kroku. V našem případě je zadání (první krok) správné. Nekonečno se opravdu rovná nekonečnu. Druhým krokem je pak přidání nějaké hodnoty jen na levou stranu rovnice a třetím krokem je odstranění z obou stran stejné hodnoty. Výsledkem je logický nesmysl.

Chyba tedy musí být v druhém nebo třetím kroku. Protože v třetím kroku chyba není (z obou stran rovnice byly odstraněny stejné hodnoty), musí být chyba v druhém kroku – v přidání hodnoty jen na jednu stranu rovnice. Jinde k chybě dojít nemohlo. Princip Occamovy břitvy vede k závěru, že přidání hodnoty jen na levou stranu je chybný krok.

Jak výsledek tohoto blogu shrnout? Nekonečno je nekonečno a proto k němu nelze nic přidávat. Nic přidávat bez ohledu na to, o kterou stranu rovnice jde. Důvod je jednoduchý. Nekonečno nemá konce a ani začátku, proto není nikde místo pro to, aby se nekonečno vložilo do jakékoliv řady matematických výrazů. Jinak řečeno. S nekonečnem, jako takovým, jako s obecnou kategorií, nelze v matematice pracovat; nekonečno, jako takové, do matematiky nepatří. Tenhle termín patří jen do filozofie.

Zdeněk Horský ve své knize Kepler v Praze píše: Kepler měl učitele v Platónovi a jeho přátelích pythagorovcích. Od nich přijal náhled, že dokonalý matematrický řád je tou vlastní podstatou světa, že matematika vytvářží harmonii světa. Ve zmíněné knize Horský dále píše, že učitelem Keplera byl i Koperník. Podle Koperníka se astronomie, která nepracuje jinak než matematicky, stává vědou odkrývající skutečné uspořádání světa. Nepotřebuje nad sebou vyšší vědu, jako kvalifikovaného vykladače. Tak se matematika stává zároveň i fyzikou – vědou zabývající se celou přírodou. Filozofii, podle Koperníka, nezbývalo nic jiného, než vzít zřetel na matamaticky vydobytou pravdu. Dále v uvedené knize Horský uvádí, že Brahe zastával názor, který se dá vyjádřit slovy: co má co radit nematemtik matematikům.

Pokud tedy v postatě již od Patagorovců (tedy zhruba 2,5 tis. Let) mezi matematikama platí, že matematika je matematika a ta má vždy pravdu, pak se není co divit ani tomu, co je uvedeno v prexu tohoto blogu a ani tvrzení, že z matematických rovnic vyplývá, že cestování časem je možné.

O cestování časem si však popovídáme příště. Tedy opět za čtyři týdny ve stejnou hodinu.

Tak mne napadlo. Filozofie se po staletích téměř smrtelného spánku, postupně probouzí a začíná světu opět ukazovat svoji krásu.

Snad to není příliš domýšlivý názor.