Hrátky s logikou 3/2011

I úlohy od čtenářů mohou být v této rubrice. Zde je první z nich od čtenáře pana Václava Krýsla. Obrázky vašich řešení budu postupně doplňovat pokud je zašlete i na adresu [e-mail]

Vážený pane Flejberk,

když jsem četl na „mense“ Váš hlavolam „tečky“, vzpomněl jsem si, že jsem kdysi řešil podobnou úlohu:

Máme N bodů rozmístit tak, aby ležely na přímkách po třech bodech. Nikde v jejich rozmístění však nesmí vzniknout řada, ve které by byly čtyři nebo více bodů. Hledáme největší počet přímek.

Řešení:

Počínaje od 9 bodů jsem zatím dostal tyto počty přímek:

bodů přímek

9 9 (tento počet udává také známá Pappusova poučka)

10 12

11 15

12 18

Postup:

Sestrojíme libovolný trojúhelník s vrcholy 1,2,3. Uvnitř zvolíme bod 4, spojíme ho vrcholy a v průsečících s protilehlými stranami dostaneme body 5,6,7. Dále např. na spojnici bodů 5 a 6 zvolíme bod 8. Bod 9 dostaneme v průsečíku spojnic (1,8) a (6,7).

Další body dostaneme v průsečících spojnic:

10 = (2,8) * (5,7) * (4, 9)

11 = (2,9) * (4,8) * (1,10)

12 = (5,9) * (7,8) * (6,10)

Bohužel nedaří se najít 13. bod takový, aby přibyly 3 přímky.

Jestli chcete, můžete tuto úlohu zařadit mezi své hlavolamy. Zajímalo by mne, jestli lze najít rozmístění bodů dávající více přímek.

V popisu nejsou uvedeny žádné souřadnice bodů. Mělo by to fungovat obecně. Je možné, že pro určité souřadnice by bylo možné získat více přímek.

Posílám jen popis protože s obrázky ve Wordu mám ještě problémy.

S pozdravem V.Krýsl.

[e-mail]