Krása matematiky

Dlouhodobě je z ní už na středních školách popelka, které je upřeno právo patřit mezi základní předmět všeobecného vzdělání, protože byla vyškrtnuta z povinných předmětů středoškolské maturity. A tak zůstalo jako důležité, jestli se umíte spisovně vyjadřovat, znáte historii české literatury a domluvíte se i v zahraničí. Jestli byste měli po střední škole s maturitou umět i logicky uvažovat, to už je volitelné. Nicméně i ti, kteří si matematiku letos jako maturitní předmět zvolili, se moc nevyznamenali. Čím dál tím častěji slyším větu: „No, chci jít na vejšku, ale hlavně, aby tam moc nebyla matika“.

Přijde mi to smutné, nejen proto, že jsem učitelství matematiky vystudoval, ale i díky zkušenostem, které mám z jejího doučování. Často jsem se setkal s tím, že student se snažil zapamatovat si jakýsi vzoreček a potom bez nějakého hlubšího přemýšlení aplikovat na sadu příkladů. Ani se v tom nesnaží nalézat žádnou logiku. Setkávám se celkem pravidelně s následujícím scénářem:

Student mi ukáže svůj sešit z matematiky, kde má u konkrétního tématu červeně zarámovaný vzoreček.

Zeptám se studenta: „Aha, výborně, a víš jak se na ten vzoreček přijde?“

Student se na mě podívá jako bych spadl z Marsu.

„No ukazoval vám pan učitel, jak se na to přijde?“

„Ne, my jsme si jen napsali vzoreček a pak jsme si ukázali pár příkladů, jak se to počítá ... “

Nevím, nakolik skutečně pedagogové ignorují v některých třídách či na některých školách právě tuto věc - jak se na daný vzoreček přijde (přičemž předpokládám, že studenti matematických a přírodovědných tříd gymnázií od svých pedagogů postup odvození základních vzorečků velmi dobře znají). Možná jsou někteří učitelé pevně přesvědčeni, že to například humanitní studenty vůbec nezajímá, a proto tato odvození ani neukazují. Nebo když se to ukázat snaží, tak to studenti berou tak, že je to stejně něco, co nebudou potřebovat, protože stačí znát vzoreček, a tak to ani nesledují. Když to pedagog zopakuje párkrát, tak bych se ani nedivil, kdyby právě po pár ignorujících reakcích svoje snahy vzdal. Z matematiky se tak s tímto přístupem stává nesrozumitelná až stresující nuda. Přitom je to škoda, protože pro mě je právě toto chvíle, kde krása matematiky začíná.

Pojďme si to ukázat na jednom vlastně základoškolském tématu. Uměli byste spočítat kvadratickou rovnici bez znalosti vzorečku pro výpočet kvadratické rovnice? Je to hrozně jednoduché.

Vezměme si třeba takový příklad (jakých jste určitě viděli stovky):

Pro začátek si celou rovnici vydělíme dvěma, abychom se zbavili dvojky před druhou mocninou:

Teď přece jen nějakého vzorečku využijeme, ale opravdu vzorečku jednoduchého, a to tohoto: (k + l)² = (k + l) * (k + l) = k² + k*l + k*l + l² = k² + 2kl + l².

Na řadě je teď otázka, kdyby x bylo k, pak jaké by muselo být v předchozím vzorečku l, aby 2kl bylo 6x? Odpověď je jednoduchá, je to (6x / x) / 2 = 3.Tedy na základě toho, že (x + 3)² = x² + 6x + 9 a díky tomu, že 9 - 9 = 0, můžeme naši rovnici přepsat takto:

Pár jednoduchými úpravami dostaneme následující tvar:

No a to je přesně to, co jsme potřebovali, protože vpravo máme přesně to, co odpovídá tvaru (k + l)² a tudíž z toho lehce vyplyne, že:

Díky absolutní hodnotě se nám příklad rozpadne na dvě řešení, a to:

Vidíte, celý příklad jsem vyřešil bez znalosti vzorečku pro výpočet kvadratické rovnice. Příklad ale obsahuje i návod, jak k danému vzorečku dojít - pouze místo čísel napíšete obecné vyjádření, ale jinak vlastně děláte totéž. Celé odvození si můžete prohlédnout zde.

Podle mého názoru toto by měl být jeden ze základních pilířů výuky matematiky na střední škole bez ohledu na zaměření - ukazovat, jak věci v matematice fungují a že nepadají z nebe. Možná že se mýlím a drtivá většina učitelů toto svým studentům ukazuje - jen ti studenti, které jsem potkal, to buďto zapomněli, nebo při výkladu velmi vesele ignorovali. A možná - abych si trochu popíchl - je to důsledek aplikace Trowovi koncepce vysokoškolského vzdělání, kdy střední školu musí dokončit i studenti, kteří podobně jednoduché věci nejsou schopni pochopit, abychom měli dostatek uchazečů o vysokoškolské vzdělání, kteří by tuto skvělou koncepci naplnili. Anebo někteří pedagogové své studenty jednoduše podceňují. Jaká je vaše zkušenost s výukou matematiky (ať už jako pedagoga nebo studenta)? Co podle vás způsobuje, že matematika je pro mnoho studentů nezajímavý a stresující předmět?