Když si chcete spočítat klimatickou změnu I

Nedávno jsem slyšel od teoretického fyzika výrok, že neexistují žádné výpočty klimatické změny. Klimatologie je jako každá jiná přírodní věda založená na pozorování, měření a teoretickém základě. Zkusme si tedy i něco spočítat.

Disclaimer: Účelem tohoto článku je popsat, na jakých fyzikálních základech staví klimatologie. Autor nenese žádnou odpovědnost za to, že se mu do textu proflákla taková porce fyziky a matematiky. Stejně tak nenese odpovědnost za případné chyby a omyly ať už vlastní, nebo nevlastní. Všechny uvedené skutečnosti jsou smyšlené a zakládají se jen na stavu současného poznání. Pokud nechcete detektivku číst celou, alespoň listujte, jinak nepochopíte, kdo a proč je pachatelem. Pokud nerozumíte, rešeršujte. Malé plastové části hraček dětem do úst nepatří!

Převážně krátkovlnné short wawes (SW), občas dlouhovlnné long waves (LW) záření

Na zemský povrch dopadá sluneční záření. Je zdrojem energie, která je, kromě energie geotermální, a která je pro klimatologii téměr zanedbatelná, jediným významným primárním zdrojem energie na Zemi. Průměrná hodnota Solární konstanty (Solar constant) je pro horní hranici atmosféry (Air Mass 0, AM0) S₀ = 1361 Wm^-². Sluneční (Solární) konstanta se mírně mění, podle sluneční aktivity a Milankovičových cyklů [1.7]. Slunce se dá přirovnat, podle Planckova zákona [1.8] k záření absolutně černého tělesa o teplotě asi 5800K [1.9]. Jelikož se Slunce chová jako černé těleso jen přibližně (atomy vyzařují čárové spektrum, Slunce má atmosféru), je změřená teplota asi T_s = 5523K (5250°C).

Spektrum Solárního záření pro přímé světlo na horní hranici zemské atmosféry a na hladině moře Graf1.1^*

Graf1.1 ukazuje spektrum slunečního záření pro přímé světlo jak na horní hranici zemské atmosféry (reprezentované plochou pod šedivou křivkou), tak na hladině moře (červená oblast). Slunce produkuje světlo s podobnou distribucí spektra, jako černé těleso o teplotě 5778K (5505°C); to odpovídá přibližně povrchové teplotě slunce. Jak světlo prochází atmosférou, část je absorbována plyny se specifickými absorpčními pásy. Další světlo je redistribuováno Rayleighovým rozptylem, který způsobuje modrou barvu atmosféry.

Z grafu (Graf1.1) je patrné, že intenzita energie dopadajícího záření se značně liší v závislosti na vlnové délce, což je v souladu s Planckovým vyzařovacím zákonem [1.8]. Červená plocha zobrazuje intenzitu dopadající energie při hladině moře a vykazuje značnou nerovnoměrnost tam, kde je spektrum pohlcováno nebo odraženo. Pohlcená energie se neztratí, ale je převedená na jinou formu (IR, Infrared radiation, Long Waves (LW)), která není úmyslně v grafu zahycená (nejde o dopadající záření), ale podílí se na celkové energetické bilanci planety, viz dále. Podívejme se, jak nepatrný příspěvek pohlcení má CO2 v oblasti kolem ~2000nm, a jak významný příspěvek má vodní pára a to v hned několika pohcovacích pásech s propustnými pásy mezi nimi (~720nm, až ~2500nm, viz Graf1.1). Graf1.1 v červené oblasti také úmyslně nezobrazuje významné, ale přechodné jevy ať už semistabilní aerosoly (oblaka), nebo nestabilní jevy, jako jsou výbuchy sopek. Graf1.1 tedy ukazuje jen příchozí část energetické bilance slunečního záření (Short Waves SW) nad atmosférou a při hladině moře po pohlcení části energie spektra atmosférou při jasné obloze. Vedlejší jevy záměrně vynechává.

Rozložení Solární konstanty AM0 podle vlnových délek (nad atmosférou) Tab1.1

Oblast spektra	Vlnová délka	Podíl energie (přibližně)	Poznámka
Ultrafialové (UV)	< 400 nm	8–9 % (~110–120 W/m²)	Nejvíce pohlcováno ozonem
Viditelné světlo	400–700 nm	42–43 % (~570–580 W/m²)
Infračervené (IR)	> 700 nm	49–52 % (~670–710 W/m²)	Nejdelší vlnové délky, teplo, největší energetický příspěvek

Země má, jak víme, kromě plochozemců, přibližně kulovitý tvar. Pokud tedy chceme kvantifikovat průměrný tok dopadajícího záření, musíme zohlednit i úhel dopadu. Solární konstanta je maximální možný tok, ale průměrný musíme spočítat nebo změřit. Abychom dostali průměrný příchozí sluneční tok Average incoming Solar radiation AM0 na vrchu atmosféry (Top of Atmosphere, TOA) musíme vynásobit Sluneční konstantu prochou kruhu (sluneční paprsky dopadají na polokouli, ale jejich energetický přínos je stejný, jako kdyby dopadaly na plochý kruh (zde se plochozemci mohou zaradovat) a vydělíme plochou koule (zde plochozemci naopak zapláčou).

Odvození, že můžeme v tomto kontextu polokouli nahradit kruhem vede na integraci diferenciálu intenzity záření

dF(S_E) = S₀⋅(dS_E⋅cos⁡θ) (1.1)

dF – změna intenzity záření; pro intenzitu záření se používá dvojí značení, někdy F (forcing), pro více teoretické výpočty často i I (intensity) (Wm^-²)
dS_E – diferenciální plocha tečná na sféru Země (m²) ve sférických souřadnicích dS_E​ = R²sinθdθdφ
dS_E⋅cos⁡θ – efektivní (zdánlivá) kolmá diferenciální plocha ve směru dopadajícího záření

P_tot = S₀​R²∫₀^2π​dφ∫₀^π/2​cosθ⋅sinθdθ = S₀πR² (1.2)

P_tot – celkový (total) výkon, dopadající na planetu(W)
S₀ – solární konstanta (Wm^-²)
R – poloměr Země (m)

Průměrá intenzita záření I_AISR je důležitý parametr, který vyjadřuje průměrný tok energie. Planeta rotuje, to znamená, že distribuce energie se do jisté míry (ve 24h cyklech) rozprostírá poměrně rovnoměrně

I_AISR = F_AISR = P_tot/S_E = S₀πR²/4πR² = S₀/4 (1.3)

I_AISR , F_AISR – globální průměrná intenzita záření (Average Incoming Solar Radiation, AISR) F_AISR = ~340 Wm^-²

Rozdělení intenzity energie příchozího záření (AISR) v interakci se Zemí Tab1.2^@

	Podíl %	Wm-²	Poznámka
Odraženo celkem zpět do vesmíru – albedo	~29.4%	~100	Celkové albedo Země ~0.294
- podíl oblaka + atmosféra	~22.6%	~77	Největší část odrazu
- podíl povrch (sníh, led, písek, půda, oceán)	~6.8%	~23	Povrchové albedo
Absorbováno celkem – absorptivita	~70.6%	~240	Absorbováno Zemským systémem
- podíl atmosféra	~23%	~78	Vodní pára, CO2, N2O, CH4, O3, aerosoly, mraky
- podíl povrch (půda + oceány)	~47.6%	~162	Hlavní zdroj tepla jsou povrchové vrstvy

^@ Pro podrobnější studium lze doporučit jako zdroj IPCC panel [1.8], který shromažďuje data od klimatických pozorování a výpočtů z celého světa a převádí je do srozumitelné formy

Tabulka Tab1.2 se zabývá intenzitou odražené a pohlcené intenzity záření sluneční energie. Obecně, celková energetická bilance se musí počítat přes všechny vstupy a výstupy.

• Sluneční energie (in), primární vstup
• Odražená energie (out), výstup, který se na energetické bilanci nepodílí
• Absorbovaná, pohlcená energie (in-out), energie je pohlcená a po určité době opět vyzářená; rychlost, s jakou tyto změny nastávají mají vedle intenzity pohlcování zásadní vliv na cekovou bilanci
• Vyzářená energie od Země (out), výstup po absorpci

Podíl odraženéno záření (reflected shortwave, RS) Tab1.3

Typ media	Wm-²	Podíl z odrazu (~100 Wm-²)
Oblaka	~45–55	~50–60 %
Čistá atmosféra (Rayleigh scattering* + aerosoly)	~20–30	~20–30 %
Povrch (podíl, který projde atmosférou ven)	~20–25	~20–25 %

* Rayleighovo záření, Rayleghův rozplyl modeluje interakci záření s molekulami vzduchu, viz druhá část

Spektrum příchozího a odchozího záření pro na horní hranici zemské atmosféry a na hladině moře Graf1.2

Tento složený graf ukazuje absorpční pásy v zemské atmosféře (prostřední panel) (když nejsou přítomna oblaka; oblaka v průměru pokrývají 60–65% plochy a nezávisle ovlivňují přenos záření) a vliv, který to má jak na sluneční záření, tak na vzestupné tepelné záření). Horní panel, Spectral Intensity zozrazuje přehledně jak záření od Slunce (SW), tak i zpětné vyzařování od Země. Na panelu není na svislé ose vyznačena intenzita, protože dopadající záření při povrchu Země má asi 3x menší intenzitu, než vyzařované. To je přímý důsledek skleníkového jevu. Individuální absorpční spektra pro hlavní skleníkové plyny a Rayleighův rozptyl jsou zobrazeny šedivě v dolním panelu (Major Components). Střední panel ukazuje šedivé plochy jako celkový součet absorpce a rozptylu v procentech (Percent). Země i Slunce emitují elektromagnetické záření (např. světlo), které se podobá spektru vyzařování černého tělesa a které lze spočítat na základě jeho střední teploty. U Slunce tyto emise vrcholí ve viditelné oblasti a odpovídají teplotě ~5523K. Emise ze Země se liší v závislosti na změnách teploty v různých lokalitách a nadmořských výškách, ale vždy jsou v infračervené oblasti (teplota je výrazně nižší). Poloha a počet absorpčních pásů jsou určeny fyzikálními vlastnostmi přítomných plynů, které záření rozptylují. V atmosféře je z těchto skleníkových plynů nejvýznamnější oxid uhličitý, následovaný vodní párou a různými dalšími menšími skleníkovými plyny. Kromě toho Rayleighův rozptyl, také rozptyluje část přicházejícího slunečního záření. Tyto procesy dohromady zachycují a přerozdělují 25 až 30% energie z přímého slunečního záření procházejícího atmosférou. Naproti tomu skleníkové plyny zachycují 70 až 85 % energie ze stoupajícího tepelného záření vyzařovaného z povrchu Země a zpomalují významně rychlost, s jakou IR záření uniká zpět do vesmíru. Tři gausovské křivky u IR záření reprezentují možné teplotní odchylky pro roční období a zeměpisnou šířku (Wienův zákon [1.20]).

Představme si tenkou vrstvu troposféry dz v kolmé výšce z (souřadnice z). Pak můžeme celkovou intenzitu záření popsat jako rozdíl vstupujícího a vystupujícího záření ve vrstvě [1.50]

F_net(z) = [F_LW^↑(z) − F_LW^↓(z)] - [ F_SW^↓(z) − F_SW^↑(z)] (1.4)

F_net – výsledná intenzita (result, netto) záření (Wm^-2)
F_LW^↑ - vstupující tok dlouhovlnného (Long Wave Radiation, infračerveného, tepelného, LW) záření směrem vzhůru; tj. emise povrchu + emise všech nižších vrstev troposféry (Wm^-2)
F_LW^↓ – vystupující tok dlouhovlnného záření směrem dolů; emise vyšších vrstev atmosféry + oblačnosti (Wm^-2)
F_SW^↓ – příchozí tok záření dolů; krátkovlnného (Short Wave Radiation, SW) záření, přímý + difúzní (rozptyl) (Wm^-2)
F_SW^↑ – odražený tok vzhůru ; krátkovlnného záření, přímo odražený + difúzní (Wm^-2)

Toky můžeme rozdělit, jak je patrné z Graf1.2 na krátkovlné (SW) a dlouhovlnné (LW) kvůli tomu, že se záření od Slunce a od Země prakticky nepřekrývá. Je to způsobeno tím, že maximum záření se posouvá podle Wiennova posunovacího zákona dle teploty tělesa, které vyzařuje [1.20] a intezita po stranách rychle klesá. Viz Planckův vyzařovací zákon dále

F_netLW(z) = F_LW^↑(z) − F_LW^↓(z) (1.5)

F_netSW(z) = F_SW^↓(z) − F_SW^↑(z) (1.5')

Ze změřených hodnot vychází pro intenzitu záření při povrchu země F_netLW(z₀) = F_LW^↑( z₀) – F_LW^↓( z₀) ≈ (396 – 333)Wm^-² ≈ 63Wm^-²; níže se pokusíme o výpočet.

Změna výsledného toku energie (intenzity záření) dF_net/dz přes vrstvu dz definuje objemovou hustotu výkonu, který určuje, kolik energie se v malém objemu vrstvy dV záření absorbuje nebo emituje.

R_rad(z) = – dF_net(z)/dz = – (F_net​(z+dz) − F_net​(z))/dz​ (1.6)

R_rad – objemová hustota výkonu (radiative heating rate), velikost změny intenzity záření se změnou výšky (Wm^-3)

Vztah (1.6) je lokálním vyjádřením zákona zachování energie; změna radiačního toku mezi spodní a horní hranicí tenké vrstvy se musí projevit jako změna energie uvnitř této vrstvy. Obrácené znaménko definuje ohřívání vrstvy jako kladnou hodnotu, a ochlazování jako zápornou hodnotu.

• R_rad > 0 → vrstva se ohřívá (absorpce > emise), intenzita záření s rostoucí výškou klesá; to znamená, že vrstva energii zadržuje (skleníkový jev)
• R_rad < 0 → vrstva se ochlazuje (emise > absorpce), intenzita záření s rostoucí výškou roste; to znamená, že vrstva energii uvolňuje
• R_rad = 0 → vrstva je neutrální (emise = absorpce)

Divergence dF_netLW/dz v každé hladině atmosféry přímo přispívá k výslednému toku, který nakonec vyzařuje do vesmíru (v TOA); celková bilance musí bý přibližně neutrální (Země není v tepelné rovnováze) F_net​(z_TOA​) ≈ 0.

Střední radiace od Země (Outgoing Longwave Radiation, OLR) se počítá integrací LW intenzity záření přes celou atmosféru

F_netOLR(z_TOA) = F_netLW(z₀) +∫₀^TOA(−dF_netLW/dz)dz
= F_netLW(z₀) + ∫₀^TOA R_radLW(z)dz (1.7)

F_netLW(z₀) - intenzita záření výsledného netto toku (intenzity záření) LW na povrchu Země (LW povrchová radiace mínus sestupný LW tok z atmosféry)
∫₀^TOA R_radLW(z)dz - celkový radiační příspěvek IR záření všech vrstev atmosféry

Integrál ve vztahu (1.7) popisuje kumulativní příspěvek všech vrstev atmosféry v LW oblasti záření. Každá vrstva přidává nebo ubírá energii podle své lokální rychlosti ohřívání (R_radLW(z)). Výsledkem je tok záření, který nakonec unikne do vesmíru. Střední intenzita záření od Země F_netOLR(z_TOA) ≈ 239−240 W/m² (TOA) . V dynamické rovnováze se tato hodnota přibližně rovná absorbované sluneční energii (pohlcování efektivní intenzity záření od Slunce F_ASR ≈ 240 Wm^-2 (F_AISR po odečtení albeda)). Intenzita dlouhovlnného záření od země se v klimatologii počítá jak analyticky integrací po rozdílných vrstvách nebo numericky (pokud rovnice nemají analytické řešení), často kombinací obou metod. Vlastní výpočet objemové hustoty výkonu viz dále (1.61), (1.62).

Vraťme se ke grafu. Graf1.1 zobrazuje změřenou a spočítanou závislost intenzity záření na vlnové délce (sluneční spetrum). Teoretickým základem je Planckův vyzařovací zákon vyzařování černého tělesa (publikovaný v roce 1900), který patří mezi základní zákony kvantové fyziky

B_ν(ν,T) = (2hν³/c²) · 1/(e^(hν/kB·T) − 1) (1.8)

B_λ(λ,T) = (2hc²/λ⁵) · 1/(e^(hc/λkB·T) − 1) (1.8')

B_ν~(ν^~,T) = (2hc²ν^~3) · 1/(e^{(hcν~/kB·T)} − 1) (1.8")

B(ν,T), B_ν(ν,T) - frekvenční spektrální zářivost (spectral radiance) je výkon záření na jednotku plochy, na jednotku frekvence a jednotku prostorového úhlu (Wm⁻²Hz⁻¹sr⁻¹)
B(λ,T), B_λ(λ,T) - vlnová spektrální zářivost (spectral radiance) je výkon záření na jednotku plochy, jednotku prostorového úhlu a na jednotku vlnové délky (Wm⁻²m⁻¹sr⁻¹, Wm⁻²nm⁻¹sr⁻¹)
B(λ,T), B_ν~(λ,T) - spektrální zářivost vlnového čísla (spectral radiance) je výkon záření na jednotku plochy, jednotku prostorového úhlu a na jednotku vlnového čísla (Wm⁻²m· sr⁻¹, Wm⁻²cm· sr⁻¹)
ν – frekvence záření je kvantovaná (E = nhν, kde n ∈ ℕ ) (Hz)
λ – vlnová délka je kvantovaná (E = nhc/λ, kde n ∈ ℕ ) (m, nm)
ν^~ – vlnové číslo ν^~= 1/λ (m^-1, cm^-1)
T – absolutní teplota tělesa (K)
c – rychlost světla c ≈ 2.998×10⁸m·s⁻¹
h – Planckova konstanta h ≈ 6.626×10⁻³⁴J·s
kB, k_B – Boltzmannova konstanta [1.11] je převodním koeficientem mezi energií a teplotou k_B ≈ 1.381×10⁻²³J·K⁻¹

Po integraci přes prostorový úhel (zářivost polokoule; Slunce vidíme jen z asi z poloviny) I(λ,T) = π · B(λ,T) a dosazením Planckova vztahu pro vlnovou délku (frekvenci, vlnové číslo; v našem případě za vlnovou délku λ), dostaneme intenzitu záření

I(λ,T) = (2πhc²/λ⁵) · 1/(e^{(hc/(λ·kB·T))} − 1) (1.9)

I(λ,T) – spektrální intenzita záření (Wm⁻²·m⁻¹, Wm⁻²·nm⁻¹)
λ – vlnová délka (m, nm)

Exponeciální člen v Planckově zákoně (1.8) zavádí kvantovou korekci tak, aby při frekvenci, která roste nade všechny meze energie nerostla, ale naopak exponenciálně klesala, protože pravděpodobnost, že se takové záření ve spektru vyskytne, klesá exponenciálně s rostoucí frekvencí uvolněného fotonu. Teplota ve vztahu je teplota celého tělesa (makroskopická veličina). Pravděpodobnost, že těleso bude vyzařovat energii E_n [1.13]

P_n​ = e^−En/kB·^​T​​ = e^{−nhν/kB​}·^T (1.10)

P_n – pravděpodobnost vyzařování tělesa o energii E_n
E_n, En – kvantovaná energie E_n = nhν, kde n ∈ ℕ

Pokud potřebujeme celkovou vyzařovanou intenzitu energie černého tělesa, integrujeme plochu pod křivkou, tedy přes všechny vlnové délky nebo frekvence; výsledek bude stejný

I_tot = ∫₀^∞ ​B(ν,T)dν = 2π⁵k_B⁴/(15c²h³)​​T⁴ = σ_SBT⁴ (1.11)

I_tot – celková intenzita záření (Wm^-2)
σ_SB – Stefan-Boltzmannova konstanta σ_SB = 2π⁵k_B⁴/(15c²h³) = 5.670×10^-8 W·m⁻²·K⁻⁴

Celková intenzita záření černého tělesa je přímo úměrná čtvrté mocnině teploty (I_tot ∝ T⁴). Vztah (1.11) je Stefan-Boltzmannův zákon závislosti intenzity energie na teplotě absolutně černého tělesa v jeho makroskopickém tvaru.

Tím bychom měli popsaný energetický vstup, který je daný příchozím zářením. Dle Graf1.1 jde o celkovou plochu pod šedou křivkou. Graf1.1 obsahuje ale i červenou oblast, která vyjadřuje energii dopadající na zemský povrch (při hladině moře). Čistě jen žlutá plocha vyjadřuje pohlcování energie spektra atmosférou. Energie se samozřejmě neztratí, jen projde transformací. Změní se intenzita (tok) energie dopadajícího záření, protože samotná transformace vyžaduje určitý čas, dojde ke změně vlnové délky a docházi k rozptylu (změní se rychlost toku). Viz dále.

Výpočet pohlcování radiačního toku (intenzity energie) při průchodu izotropním médiem vychází z Beer-Lambertova (Lambertův-Beerův) zákona [1.12]

I_tr = I_in · e^−δ = I_ine^-k·C·z = I_inR_t (1.12)

I_in – počáteční intenzita záření (W·m⁻²)
I, I_tr – intenzita prošlého záření (transmitted) (W·m⁻²)
δ, δ(λ) – optická hloubka je bezrozměrný koeficient δ(λ) = k(λ)C·z
k, k(λ) – extinkční koeficient, je daný vlastností konkrétní látky při konkrétní vlnové délce (tj. jak silně daná látka současně absorbuje (absorption), rozptyluje (scattering) a odráží (reflection), viz dále) k(λ) = k_abs(λ) + k_scat(λ) + k_ref(λ) (m²mol⁻¹)
C – objemová (volumetrická) koncentrace absorbující látky (mol·m⁻³)
z, zH, z_H – délka optické hloubky, tloušťka vrstvy prostředí kterou záření prochází; pokud chceme zohlednit počátek souřadnice z₀ = 0m při hladině moře, pak platí z_H = z_H0 – z (m)
R_t – transmitance, koeficient prostupnosti R_t = e^−δ (bezrozměrná)

Vizualizace Beer-Lambertova zákona Graf1.3

Graf1.3 zobrazuje exponenciální pokles poměrné intenzity záření I/Iin při pohlcování prostředím s délkou optické dráhy z. Vyznačený bod odpovídá z = 1/(kC), kde optická hloubka δ = kCz = 1 a poměrná intenzita klesla na 1/e ≈ 0,368 původní hodnoty. Je to bod [x, 1/e] jehož x souřadnice je stejná, jako x souřadnice průsečíku tečné přímky vedené z bodu [0, 1] s osou x.

Tlak v atmosféře (troposféry, až do výšky asi 12km) a tedy i koncentrace plynu klesá přibližně exponenciálně s výškou podle barometrické formule; teplota klesá přibližně lineárně. Proto je nutné Beer-Lambetrův zákon upravit pro nehomogenní prostředí atmosféry

p(z) = p₀ · e^−ξ(z) (1.13)

ξ(z) = ∫₀^z(dz′/H_p(z′)) = ∫₀^zg/(R_s(T₀+Lz′)) dz′ = g/(R_sL)· ln⁡((T₀+Lz)/T₀) (1.14)

ξ(z) = g/(R_sL)· ln⁡(T(z)/T₀) = g/(R_sL)· ln⁡((H_p(z)/H_p0) (1.14')

ρ(z) – závislost hustoty atmosféry na výšce (kg·m⁻³)
ξ(z) – bezrozměrná kumulativní redukovaná škálová výška (reduced height) udává vertikální vzdálenost vyjádřenou v násobcích místní škálové výšky ξ(z) = z/H(z)
z – výška (souřadnice z je kolmá k tečné diferencální ploše při kulové aproximaci povrchu Země dxdy v daném bodě) (m)
g – tíhové zrychlení; klesá s rostoucí výškou relativně pomalu; pro většinu výpočtů v troposféře ho můžeme považovat za konstantní (ve výšce 30 km je odchylka -0.0093g) g ≈ 9,81 m·s⁻² (25)
H(z) – škálová výška (scale height) je vzdálenost (vertikální nebo radiální), o kterou se fyzikální veličina zmenšuje exponenciálně (podle základu přirozených logaritmů); je to charakteristická výška atmosféry, která udává, v jaké výšce by daná veličina (tlak, hustota nebo koncentrace) klesla na hodnotu 1/e své původní hodnoty, pokud by se měnila stejnou relativní rychlostí; platí pro kteroukoli povolenou veličinu H_x(z) = −(dlnX(z)/​ dz)⁻¹; pro troposféru je model závislosti H(z) na výšce lineární; při povrchu Země pro tlak je H_p0 = R_sT₀/g ≈ 8430 m (m)
L – lapsový gradient (lapse rate) je záporný koeficient, který charakterizuje pokles teploty s rostoucí výškou od Země T(z) = T₀ + Lz; jde o přibližnou interpolaci pro troposféru L ≈ −0.0065K·m^-1
T(z) - teplota ve výšce z; klesá v troposféře přibližně lineárně (K)
T0, T₀ - teplota povrchu země (K)

Pro výpočet škálové výšky H_p(z) potřebujeme měrnou (specifickou) plynovou konstantu Rs, R_s

R_s = R/M_avg = k_B/m_avg ≈ 287 J·kg⁻¹K⁻¹ (1.15)

R_s – specifická plynová konstanta (J· kg^-1K^-1)
R – univerzální plynová kostanta R = 8.314 J·mol⁻¹K⁻¹
M_avg – molární hmotnost vzduchu M_avg ≈ 0,02897 kg· mol^-1
k_B – Boltzmannova konstanta (J·K⁻¹)
m_avg – střední hmotnost molekul vzduchu se počítá přes molární hmotnost všech plynů a jejich koncentraci v atmosféře (M_avg ≈ 28,97 g·mol⁻¹) m_avg ≈ 4,8 × 10⁻²⁶ kg

H_p(z) = R_sT(z)/g (1.16)

Pro škálovou výšku hustoty a koncentrace v troposféře platí

1/H_ρ​(z) = 1/H_C​(z) ​= 1/H_p​(z) + L/T(z) ​(1.16')

H(z) = H_C​(z)​= H_ρ​(z) = R_sT(z)/(g + R_sL) = H(0) + R_sL· z/(g + R_sL) (1.16")

Pokud použijeme střední teplotu atmosféry (troposféry) T_avg ≈ 250 K, pak H_pavg ≈ 7 300 m. Škálová výška určuje o kolik metrů musíte vystoupat, aby tlak klesnul na 1/e předchozí hodnoty (p(H) = p₀⋅e⁻¹ ≈ 0.3679p₀) při průměrné teplotě (srovnej s H_p0 výše).

Koncentrace jednotlivých složek atmosféry se mění při dobrém promíchání přibližně stejně jako hustota atmosféry. Dosazením (1.14') do (1.13) dostaneme závislost na teplotě v dané výšce, další vztahy dostaneme dosazením plynové rovnice p = ρR_sT

p(z) = p₀ e^−ξ(z) = p₀(T(z)/T₀)^Epm (1.17)

ρ(z) = ρ₀ e^−ξ(z) = ρ₀(T(z)/T₀)^Epm-1 (1.17')

C(z) = C₀ e^−ξ(z) = C₀ (T(z)/T₀)^Epm-1 (1.17'’)

C(z) – střední volumetrická koncentrace molekul absorbujícího plynu v závislosti na výšce z (mol·m⁻³)
C₀, C0 – počáteční koncentrace při hladině moře (mol·m⁻³)
Epm, E_pm – exponent polytropického modelu je mocninná konstanta, která v troposféře určuje poměr mezi teplotou a tlakem (p), teplotou a hustotou (ρ), teplotou a koncentrací (C), kde všechny vztahy mají stejnou formu (17); pro tlak

E_pm = −g/(R_sL) ≈ 5.2559 (1.18)

Pro hustotu a koncentraci je

E_pmρ = E_pmC = E_pm – 1 ≈ 4.2559 (1.18')

Při změně výšky je poměr koncentrace plynu úměrný poměru mocnin teplot C(z)/C₀ ∝ (T(z)/T₀)^Epm-1

Beer-Lambertův zákon pro atmosféru pro prošlé záření zohledňuje záslost δ na výšce, kde koncentrace a extinkční koeficient se s výškou také mění

I_tr(λ, z) = I_in(λ, z) · e^{−δ(λ, z)} (1.12') srovnej s (1.12)

Zde je potřeba upozornit na jeden obrat. Je nám jedno jestli záření přichází seshora, nebo zezdola, nás zajímá transmitance na opačném konci, proto je vzorec týž (transmitance vrstvy je invariantní vůči obrácení směru šíření). Musíme jen správně přepočítat výšku, abychom dostali správnou závislost na délce optické hloubky z_H. Pro nehomogenní prostředí je optická hloubka vyjádřená

δ(λ, z) = ∫₀ᶻ k(λ, z’)·C(z’) dz’ (1.19)

Tento integrál obecně nemá vždy analytické řešení, ale pro náš případ můžeme za k(λ , z’) dosadit

k(λ, z) = k₀(λ)(T(z)/T₀)^m (1.20)

m – teplotní exponent extinkčního koeficientu je z kvantové fyziky teoreticky odvozená konstanta, která je ověřená měřeními. Podle HITRAN [1.29] je m ≈ 0.58 (bezrozměrný)

Pro výpočet optické hloubky pro koncentraci integrujeme od nuly přes celou výšku a dosadíme za E_pmC = E_pm – 1

δ(λ, z) = ∫₀ᶻ k₀(λ)(T(z’)/T₀)^mC₀(T(z’)/T₀)^Epm-1dz’
= k₀(λ)·C₀∫₀ᶻ (T(z’)/T₀)^{( Epm-1 + m)}dz’ (1.21)

Integrál v (1.21) analytické řešení už má. Po dosazení T(z’) = T₀+Lz’

δ(λ, z) = k₀(λ)·C₀[T₀/(L(E_pm+m))]·[((T₀+Lz)/T₀)^(Epm+m) -1] (1.22)

Klimatologie častěji používá jinou formu zápisu optické hloubky δ(z)

δ(λ, z) = σ_0ext(λ)⋅n₀·∫₀ᶻ (T(z’)/T₀)^{(Epm-1 + m)}dz′ (1.21')

σ_ext(λ, T(z), p(z)) = σ_ext(λ, z) – extinkční průřez, viz [1.12][1.28], je definovaný jako počet interakcí za časovou jednotku v jednotce objemu vydělený součinem toku kvant (částic) a početní hustoty molekul; vychází z kvantové fyziky, vyjadřuje míru pravděpodobnosti interakce fotonu s molekulou, jinak, je to efektivní plocha molekuly (účinný průřez), která je schopná pohltit foton σ_ext(λ, z) = k(λ, z)/N_A, kde N_A je Avogadrova konstanta [1.27] (m²)

σ_ext(λ, z) = N_int(λ, z)_​​/(I_T(λ, z)⋅n(z)) (1.23)

N_int​​ – hustota interakcí v jednotce objemu za sekundu (m^-3s^-1)
I_T – kvantová intenzita je počet kvant dopadajících na plochu za sekundu (tato jednotka má jiný fyzikální význam a rozměr než intenzita energie I, F) (m^-2s^-1)
n – hustota molekul, početní hustota je počet molekul v jednotce objemu n(z) = C(z)⋅N_A (m^-3)

Vztah pro optickou hloubku (1.22) platí s modifikaceni pro troposféru, vrchní stratosféru a mezosféru. Další vrstvy jsou propustné v závislosti na výšce odlišně.

Zaveďme koeficient β a pomocí něj hmotnostní extinkční koeficient ϰ_ext (kappa)

β(λ, z) = σ_ext(λ, z)⋅n(z) = k(λ, z)⋅C(z) (1.24)

β, β_ext – objemový extinkční koeficient definuje pravděpodobnost, že foton je pohlcen (absorption) nebo rozptýlen (scattering) nebo odražen (reflecting), tedy odstraněn β(λ) = β_abs(λ) + β_scat(λ) + β_ref(λ); převrácená hodnota udává střední volnou vzdálenost s = 1/β(λ) (m^-1)

ϰ_ext(λ, z) = k(λ , z)⋅C(λ, z)/ρ(z) = β(λ, z)/ρ(z) (1.25)

ϰ_ext(λ, z) – hmotnostní extinkční koeficient (opacita) určuje velikost efektivní plochy pro zeslabení záření na jeden kilogram hmoty (m²·kg⁻¹)

Způsob, jakým se ϰ_ext(λ, z) (hmotnostní extinkční koeficient) mění v jednotlivých vrstvách atmosféry, závisí primárně na tom, zda při dané vlnové délce uvažujeme skleníkové plyny (absorpce v infračerveném pásmu), nebo i aerosoly a prach (rozptyl viditelného světla).

Obsah atmosféry z pohledu změny ϰ_ext(λ, z) obsahuje dobře promíchané plyny (CO₂, CH₄, O₂, N₂), kde se ϰ_ext(λ, z) dá přibližně považovat za konstantu, protože hustota vzduchu a koncentrace klesají podle stejného vztahu. Jejich poměr se nemění viz (1.17')(1.17") a k(λ , z) jak už víme (20), se mění málo a současně eliminuje závislost na hustotě atmosféry. Ani jeden z těchto plynů v podmínkách atmosféry Země nemění významně skupenství. Molekuly těchto plynů jsou skutečně v atmosféře skoro vždy v plynném stavu.

Vodní pára (H₂O) má jinou charakteristiku. Je koncentrována téměř výhradně v troposféře (troposféra obsahuje 99% veškeré atmosférické vody) a s výškou její podíl rychle klesá a mění skupenství. V troposféře se ϰ_ext(λ, z) pro vodní páru modeluje přes Manabe-Wetheraldův vztah [1.41].

Pro výpočet škálové výšky z definice platí

H_H2​O​(z) = −(dln(C_H2​O​(z))/dz​)⁻¹ (1.26)

Pro koncentraci C_H2​O pak po úpravách a dosazení dostaneme

C_H2​O​(z) = ζ⋅ρ_air​(z)Φ_s⋅((p(z)​/p_s)​−a_MW)​⋅e_s​(T(z))/((1-a_MW)⋅ p(z)​) (1.27)

C_H2​O​ – hmotnostní koncentrace (hustota) vodní páry viz (1.24) (kg⋅m^-3)
ζ – poměr plynových konstant suchého vzduchu a vodní páry, ζ = R_d/R_v = 0.622
R_d, Rd, R_v, Rv – plynové konstanty suchého vzduchu (dry) R_d ≈ 287 J·kg⁻¹·K⁻¹ a vodní páry (wapor) R_v ≈ 461.5 J·kg⁻¹·K⁻¹
ρ_air(z) – lokální hustota vzduchu ve výšce z ρ_air(z) = p(z)/(R_d·T(z)) (kg⋅m^-3)
Φ_s průměrná relativní vlhkost na povrchu (surface) se definuje jako poměr parciálních tlaků (parciální tlak, je tlak který by vodní pára vyvíjela, kdyby sama zaujala celý objem při stejné teplotě) vodní páry a nasycené vodní páry ( p_vsat, saturated) ve vzduchu Φ_s(T) = p_v(T)/p_vsat(T); pro z=0, Φ_s = 0.77
p(z), p_s – lokální atmosférický tlak ve výšce z (1.17') a na povrchu z=0, p_s = 101.325 kPa (Pa)
a_MW – Manabe-Wetheraldova konstanta vertkálního rozložení vlhkosti, později teoreticky podložená jako dostatečně přesná aproximace a_MW = 0.02
e_s – tlak nasycených vodních par (saturační tlak) při teplotě T(z); určuje se pomocí Clausius-Clapeyronova zákona [1.40] (Pa)

Zjednodušený Clausius-Clapeyronův zákon (Clausius prosím, nikoli Václav Klaus, John Clauser, Santa Claus ap.) (exp(x) je alternativní forma zápisu e^x)

e_s​(T(z)) ≈ e₀⋅​exp[​L_v/R_v​​(1/T₀ ​− 1/T(z))] (1.28)

e₀ – tlak nasycené vodní páry při T₀ = 273.15K (0˚C) e₀ = 611Pa
L_v, Lv – měrné výparné teplo vody (je mírně závislé na teplotě) L_v(T₀) = 2.5⋅10⁶ Jkg^-1

Dosazením Clausius-Clapeyronova vztahu (1.28) do vztahu pro C_H2​O​ (1.27) a (1.27) do (1.25) dostaneme upravený vztah pro ϰ_extH2O(λ, z)

ϰ_ext(λ, z) = k(λ , z)⋅C_H2O(λ, z)/ρ(z) (1.25')

Přelomový článek Suykuro Manabe (nositel Nobelovy ceny) a Richard T. Wetherald [1.41], publikovaný v roce 1967, nejen kvalitativně, ale i kvantitativně velmi dobře postuloval závislost růstu koncentrace vodní páry na rostoucí koncentraci CO₂ v atmosféře a s tím spojený průměrný nárůst globální teploty planety.

Ozón absorbující ultrafialové záření má své maximum ve stratosféře (ozonová vrstva je mezi 20–30 km). Koeficient ϰ_ext(λ, z) pro ozón se mění nelineárně, v podstatě kopíruje Gaussovu křivku.

Pro krátkovlnné (sluneční) záření hrají klíčovou roli pevné částice, tedy aerosoly, prach a smog (PM_2.5, PM₁₀). Spodní vrstva troposféry, do 2km je proměnlivá, ϰ_ext(λ, z) se významně liší podle podmínek, proto pro zjednodušení se provádí přibližná interpolace jako rovnoměrná koncentrace aerosolů a částic. Nad mezní vrstvou tento typ příměsí ϰ_ext(λ, z) výrazně klesá.

Upravený vztah pro výpočet optické hloubky pomocí objemového extinkčního koeficientu ukazuje vzájemnou vazbu mezi místní hodnotou β (pro danou výšku) a makroskopickým koeficientem optické hloubky přes celou výšku. Zatímco β(λ, z) s rostoucí výškou klesá, δ(λ , z) s výškou roste se stále se zmenšujícími přírůstky

δ(λ , z) = ∫₀^zϰ_ext(λ, z’)⋅ ρ(z’)dz’ = ∫₀^zβ(λ, z’)dz’ (1.29) srovnej s (1.19)

Pro pohlcené (absorbované) záření I_ab musí platit, že rozdíl intenzit dopadajícího a prošlého a odraženého a rozptýleného záření se rovná intenzitě energie pohlceného záření

I_ab = I_in − I_tr – I_ref – I_scat (1.30)

I_ref – odražené záření, reflected; pro atmosféru pro I_ref platí podobný vztah, jako pro pohlcené a prošlé záření; pro čirou atmosféru se I_ref → 0 (Wm^-2)
I_scat – rozptýlené záření, scattered (Wm^-2)

Integrací diferenciálního tvaru Beer-Lambertova zákona po dosazení za reflexi, rozptyl a absorpci dostáváme analogické vztahy

I_ref(λ , z) = I_in·(β_ref/β_ext)·(1−e^{−δ(λ , z)}) (1.31)

I_scat(λ , z) = I_in·(β_scat/β_ext)·(1−e^{−δ(λ , z)}) (1.31')

I_abs(λ , z) = I_in·(β_abs/β_ext)·(1−e^{−δ(λ , z)}) (1.31")

Vztahy platí pro dobře promíchaný plyn, kde jsou poměry objemového extinkčního koeficientu β konstantní.

Jak vyplývá z výše uvedeného, skutečný profil hustoty atmosféry se mění dle vrstev, výpočty používají rozdílnou aproximaci, protože

• Teplota není přímo úměrná výšce – v troposféře klesá (L ≈-6,5 K/km), ve stratosféře roste (ozon absorbuje UV, L ≈+2.8 K/km)), v mezosféře opět klesá (L ≈-2.8 K/km).

• Složení atmosféry se mění – těžší molekuly (Ar, CO₂) klesají rychleji než lehčí (H₂, He), takže m_avg se také mění s výškou a každá složka má vlastní škálovou výšku Hᵢ(z’) = R_sT(z’) / g(z’).
• Koeficienty β, ϰ_ext, σ,.. které modelují chování záření v atmosféře se s výškou a s vlnovou délkou také mění

Tedy platí zde omezení pro různé plyny, které mají různé výškové profily i pro teplotu. Pro změnu klimatu má význam hlavně rozložení H₂O a CO₂. Jak si ukážeme později, H₂O má význam hlavně jako silná zpětná vazba, zatímco CO₂ je hlavní regulátor teploty.

Výškové rozložení důležitých plynů pro výpočet teploty atmosféry Tab1.4

Plyn	Hlavní výškové rozložení	Důležitost pro klima / energetickou bilanci
H₂O	~90 % pod 2–3 km (troposféra)	Nejsilnější GHG+ plus kladný feedback (teplota podporuje výpar), ale kondenzuje, mění skupenství a vlastnosti
CO₂	Dobře promíchán až do ~80–100 km	Rovnoměrný efekt v celé troposféře a nižší stratosféře, dlouhodobý skleníkový plyn, antropogenní činností narůstá koncentrace (~430 ppm v roce 2025)&
O₃	Maximum ~20–30 km (stratosféra)	Pohlcuje UV (ochrana biosféry), ohřívá stratosféru tam, kde je jeho maximalní koncentrace
CH₄	Dobře promíchán v troposféře	Silný skleníkový plyn, kratší životnost neř CO2 (1900 ppb (109) v roce 2025)&&
N₂O	Dobře promíchán	Dlouhodobý skleníkový plyn, antropogenní činností narůstá koncentrace (~340 ppb (109) v roce 2025)&&

⁺ GHG – Green House Gas, skleníkový plyn
^& ppm (particles per milion – 10⁶), tedy koncentrace měřených částic na milion všech částic
^&& ppb (particles per bilion – 10⁹), tedy koncentrace měřených částic na miliardu všech částic (americký bilion je evropská miliarda)

Teplotní rozdělení atmosféry v závislosti na výšce Tab1.5

Vrstva	Výška	Teplota
Troposféra	0–12km	Klesá s výškou
Stratosféra	12–50km	Izotermická, nebo roste (ozon absorbuje UV fotony a zvyšuje kinetickou energii)
Mezosféra	50–85km	Klesá – nejchladnější místo atmosféry (~ −90°C)
Termosféra	85–600km	Roste extrémně (až ~2000°C), ale malé množství vzduchu způsobuje malý přírůstek intenzity záření (malá emisivita)
Exosféra	600-1000+km	Přechod do vesmíru, 700–3500 K (Boltzmannův zákon [1.11] závislosti teploty na kinetické energii)

Závislost teploty (hustoty, tlaku) atmosféry na výšce Graf1.4

Standardní atmosférický graf závislosti hustoty, tlaku, rychlosti zvuku a teploty na geometrické výšce. Osa z je svislá a hodnoty funkce f(z) jsou vynášené vodorovně (Standard US Atmosphere model NASA 1962). Přesnější modely závislosti hodnot funcí na výšce se modelují numericky line-by-line podle sezónních změn, viz dále. Ionosphere D layer je označení nejnižší vrstvy ionsféry; vyšší vrstvy se označují ionosphere E layer a ionosphere F layer.

Dopadající záření od slunce má podle Plackova zákona vysokou teplotu v maximu a je směrové. To je důležité pro výpočty, protože vztahy pro směrové SW rozptýlené LW (které má také nižší teplotu), se odvozují jinak. Pro nalezení vztahu pro výpočet absorbce atmosféry dopadajícího záření od Slunce dosadíme do vztahu pro transmisi intenzity záření (1.12') upravený vztah (1.22) a zkusme integrovat přes vlnovou délku

I_tr​(z) =∫₀^∞​I_in(λ, z_H)· exp{−k₀(λ)·C₀[T₀/(L(E_pm+m))]·[((T₀+Lz)/T₀)^(Epm+m) -1]} dλ (1.12")

​I_in(λ, z_H) diferenciální intenzita vstupujícího záření podle vlnové délky (Wm^-2nm^-1)

Tento integrál opět nemá analytické řešení. Absorbční koeficient k₀(λ) se nedá analyticky určit jako jediná konstanta nebo funkce jedné proměnné. Je možné ho počítat jen pro jednotlivé plyny a absorbční spektrum zvlášť a pak jednotlivé přírůstky sčítat. Dalším omezením je, že absobční pásy se překrývají a pro příliš dlouhou optickou hloubku dojde k saturaci záření. Pro silně saturované pásy exponenciální průběh přestává platit. Přesto, pro naše účely je vztah (1.12") dostatečný k tomu, abychom si udělali představu, jak postupovat při výpočtu celkové intenzity záření.

Komplexní řešení, které je numerické, je znázorněno v Graf1.1; výpočetní algoritmus je například ve článku na Science Direct (Algorithms for modeling spectral transmittance and radiance) [1.48]. Nejde o nějakou přibližnou malůvku, ale o exaktní výpočet. Ukažme si ještě jednou Rohdeho graf (Robert Andrew Rohde, americký fyzik, spoluautor projektu Berkeley Earth [1.51]) tak jak ho vygenerovala AI.

Rodheho graf závislosti relativní (poměrné) intenzity záření na vlnové délce při povrchu Země Graf1.5

Zjednodušený Rohdeho graf vygenerovaný AI Claude; poměr ploch pod modrou a žlutou křivkou vyjadřuje poměr integrálů celkové relativní intenzity záření Itr/Iin pro Itr z = 0 a Iin , z = TOA; srovnej Graf1.3.

Odtud pak vychází řešení výpočtu závislosti intenzity dopadajícího záření na výšce. Stačí jen vygenerovat Rohdeho grafy v dostatečně jemných krocích (představme si graf ve 3D, kde z souřadnice je výška), které nakonec v TOA splynou s obálkou. Integrály plochy pod modrou a žlutou křivkou pak určují (v našem případě poměrnou) intenzitu záření v dané výšce.

Rodheho graf závislosti relativní (poměrné) intenzity záření na vlnové délce a výšce Graf1.6

Zjednodušený Rohdeho graf vygenerovaný AI Anthropic pro výšku 2km; zelená křivka ukazuje celkovou spektrální transmitanci Itr pro z ∈ <0km, 11km> v procentech; horní graf ukazuje zjednodušený Rohdeho graf pro výšku 2km. Nerovnosti jsou výše a jsou menší; v TOA splyne graf se žlutou obálkovou křivkou (Planckův graf vyzařování černého tělesa).

Pro přesné výpočty se používá vrstvový model (atmosféra je rozdělená do homogenních vrstev podle výšky) a výpočet se provádí numericky po jednotlivých absorpčních pásmech a druzích plynu. Klimatologie používá několik standardizovaných profilů [1.49]. Například US Standard Atmosphere nebo International Standard Atmosphere jsou tabulkové modely rozdělené do vrstev s různými teplotními gradienty; pro každou vrstvu je pak možné počítat teplotní bilanci a koncentraci plynů přesněji. Jde o standardizovaný postup, který je známý desetiletí. Nejde o náhodné malůvky, nebo nějaké nepřesné odhady, ale exaktní digitální modely průřezu rozložení teploty a složení atmosféry [1.15], Tab1.5.

Přecházíme převážně na dlouhovlnné long wawes (LW) vyzařování

Definujme emisivitu ε_e jako bezrozměrné číslo vyjadřující jak efektivně těleso vyzařuje tepelné záření ve srovnání s ideálním černým tělesem při stejné teplotě

ε_e = I_b / I_bb (1.32)

ε_e – emisivita (bezrozměrná)
I_b – intenzita vyzařování tělesa (body) (Wm^-2)
I_bb – intenzita vyzařování absolutně černého tělesa (bb, black body) (Wm^-2)

Emisivita je pro reálná tělesa většinou menší, než má absolutně černé těleso. Nejde o porušení II termodynamického zákona. Jde o to, že tělesa chladnou pomaleji, než fyzikálně dokonalé těleso. Intenzita záření neříká nic o tom, jaká je celková energetická bilance. Viz níže.

Tabulka emisivity povrchu země pro T=288K Tab1.7

Povrch	Emisivita εe (T=288K, λmax ≈ 10.1 μm)
Oceán	0.98
Půda	0.90–0.95
Sníh/led	0.98
Lesy	0.95–0.98

Tabulka 1.7 uvádí emisivitu pro některé povrchy Země při teplotě T = 288K, která odpovídá maximu intenzity vyzařování vlnové délky podle Planckova vyzařovacího zákona λ_max ≈ 10 060nm (10.1 μm).

Kirchhoffův zákon záření (publikovaný v roce 1860) postuluje Planckův vyzařovací zákon a popisuje termodynamickou rovnováhu. Emisivita tělesa pro danou vlnovou délku je v termodynamické rovnováze právě tehdy, když rovna jeho absorptivitě při stejné vlnové délce

ε_e(λ,T) = α_ab(λ,T) (1.33)

ε_e(λ, T) – spektrální emisivita (bezrozměrná)
α_ab(λ, T) – spektrální absorptivita, koeficient, který určuje, jaká část intezity záření se pohltí (bezrozměrná)

α_ab(λ, T) = I_ab(λ) /I_in(λ) (1.34)

I_in(λ) – intezita energie dopadajícího záření (dané vlnové délky při stejné teplotě) (Wm^-2)
I_ab(λ) – intezita energie absorbovaného záření (dané vlnové délky při stejné teplotě) I_in(λ) = I_out(λ) + I_ab(λ) (Wm^-2)

Záření které není absorbováno může být buď odražené (reflektance), rozptýlené nebo prochází látkou. Případ, kdy je zbytek jen odražený, můžeme modelovat albedem

χ_al(λ,T) = (I_in(λ) – I_ref(λ))/ I_in(λ) (1.35)

I_ref(λ) – intenzita odraženího záření

χ_al(λ,T) – albedo, spektrání odrazivost, koeficient, který se používá jako komplementární veličina ke spektrální absortivitě; obecně, část spektra se může odrazit, část se pohltí, zbytek projde

Albedo i absorptivita se častěji vyskytují i jako koeficienty pro celé spektrum, ale protože se mění v závislosti na vlnové délce (různé látky budou pohlcovat jinak pro různé vlnové délky), není možné je používat univerzálně. Například nemá příliš smysl tabulkovat absortivitu N₂ a O₂. Jak kyslík, tak i dusík mají oba koefienty velmi malé (skoro radiačně intaktní), ale jsou závislé na teplotě, tlaku (hustotě) plynu.

Definujme reflektanci R_r jako podíl odražené I_ref a dopadající intenzity záření I_in

R_r(λ) = I_ref(λ) / I_in(λ) = 1 − α_ab(λ) − R_t(λ) (1.41)

R_t – transmitance, koeficient prostupnosti, viz Beer-Lambertův zákon (1.12) (bezrozměrná)

Pro neprostupné prostředí (pevný povrch země) se R_t = 0. Pak vztah (1.40) přejde do Kirchhoffova zákona (pro stejné λ). Pro vodu a atmosfétu je koeficient prostupnosti nenulový.

Reflektanci popisují Fresnelovy rovnice, které mikroskopicky definují reflektanci (albedo) pro danou vlnovou délku a daný úhel. Na zemský povrch záření dopadá ze všech úhlů (přímé sluneční + difúzní záření oblohy včetně IR záření). Spektrální albedo se získá jako střední hodnota hodnoty získané dvojí integrací přes všechny úhly dopadu a vlnové délky. Výpočet pro albedo ve sférických souřadnicích

χ_al(λ) = ∫₀^(2π) ∫₀^(π/2) R(θ,φ,λ) · I(θ,φ,λ) · cosθ · sinθ · dθ · dφ / ∫₀^(2π) ∫₀^(π/2) I(θ,φ,λ) · cosθ · sinθ · dθ · dφ (1.42)

Poté je potřeba dopočítat ještě vážený průměr přes všechny vlnové délky podle Planckova vyzařovacího zákona opět přes podíl integrálů, kde čitateli je součin albeda, které se mění s vlnovou délkou s Planckovým vyzařovacím zákonem v diferenciálním tvaru (diferenciální intezita odraženého záření podle vlnové délky) a ve jmenovateli je integrál pro Planckův vyzařovací zákon (diferenciální intenzita dopadajícího záření), viz (1.11)

χ_al = ∫_λ₁^λ₂χ_al(λ) · B(λ, T_s) dλ /∫_λ₁^λ₂ B(λ, T_s) dλ (1.43)

T_s – teplota solární konstanty T_s = 5523K

Vztah (1.43) pro albedo χ_al opět obecně nemá analytické řešení. V čitateli je součin dvou závislých funkcí. Obdobně je možné odvodit vztahy pro emisivitu ε_e a absorptivitu α_ab [1.31]. Tyto koeficienty (χ_al, ε_e, α_ab) je možné pro dané vstupní paramerty počítat numerickými výpočty.

Kirhhoffův zákon je zpřesněný zákon zachování energie. Specifické je pro něj to, že postuluje, že se tak děje i při stejné vlnové délce a teplotě. Říká, že těleso v termodynamické rovnováze vyzařuje při každé vlnové délce přesně tolik záření, kolik by při té samé vlnové délce pohlcovalo. Fyzikálně jde o důsledek druhého termodynamického zákona (dvě tělesa o stejné teplotě si nemohou předávat energii ani na různých vlnových délkách). Má přesah i do kvantové fyziky (platí časová symetrie pro elektromagnetické interakce). V atmosféře propojuje Beer-Lambertův zákon (absorpce) s Planckovým zákonem (emise) přes optickou hloubku δ(λ,T).

Po dosazení do (1.34) když zanedbáme odraz a rozptyl

I_ab = I_in − I_tr = α_ab(λ,T)·I_in (1.36)

Dosazením do(1.36) vztah pro Beer-Lambertův zákon (1.12) dostáváme

α_ab(λ,T) = 1 − e^{−δ(λ, T)} (1.37)

Dosaďme výraz pro Stefan-Boltzmannův zákon (1.11) do vztahu pro emisivitu (1.32). Známe průměrnou teplotu i průměrnou emisivitu (t_E = 16˚C, T_E = 289K, ε_e = 0.97) můžeme pro první přiblížení určit intenzitu vyřazování zemského povrchu I_bsur (surface)

I_bsur = ε_eσ_SBT⁴ = 0.97 · 5.67×10⁻⁸ · 289⁴ ≈ 383.7 W·m⁻² (1.38)

Naměřená data jsou trochu vyšší I_bsur = 396 – 398 W/m² (Trenberth, Wild, CERES), ale shoda je poměrně dobrá.

Zatímco albedo týká především dopadajícího záření a jde tedy o převážně o sluneční spektrum pro kratší vlnové délky, emisivita Země vyzařuje na delších, mikrometrových délkách a absorptivita se vztahuje jak na přímé sluneční záření, tak i na IR záření. Platí α_ab ≠ ε_e, protože průměrná absorptivita má podle Wienova zákona maximum jinde pro krátkovlnné dopadající záření a jiné maximum pro dlouhovllné vysálané IR záření. Upravený Stefan-Bolzmannův zákon pro intenzitu záření I_b (body) Země

I_b = I_AISR⋅α_ab = ε_e⋅σ_SB⋅T⁴ (1.39)

Průměrná teplota Země, pokud by neměla atmosféru, se počítá z průměrné radiace od Slunce I_AISR = S₀/4 ≈ 340 Wm^-² (Average Incoming Solar Radiation) opět ze Stefan-Boltzmanova zákona pro zemský povrch bez atmosféry pro

T_0sur = (I_AISRα_ab/ε_eσ_SB)^1/4 = (340×0.88/(0.97×5.67×10⁻⁸))^1/4 K ≈ 271.6K (1.40)

T_0sur – teplota povrchu (surface) Země bez atmosféry
α_ab – absorptivita zemského povrchu pro sluneční spektrum α_ab = 0.88
ε_e – emisivita zemského povrchu pro mikrovlnné IR záření ε_e = 0,97

Tento výpočet (t_0sur ≈ -2˚C) je zajímavý z pohledu tepelné bilance Země bez atmosféry, ale pro výpočet skleníkového jevu se nehodí, protože my potřebujeme určit skleníkový jev celostně. Koeficienty absobtivity a emisivity jsou vážené průměry ze satelitních měření (databáze ASTER GED, MODIS, CAMEL) [1.32]. Země je natolik komplexní celek, že analytické výpočty, jakkoli jsou možné, budou přibližné. Daleko přesnější výsledky dávají numerické modely doplněné měřeními.

Použijme změřenou intenzitu vyzařování Země (Outgoing Longwave Radiation, I_OLR = ~240 W/m²) a dosaďme jí do Stefan-Bolzmannova zákona pro absolutně černé těleso (I_OLR = σ_SBT_eff⁴​). Efektivní teplota černého tělesa bez skleníkového efektu pak bude t_eff ≈ -18°C

T_eff = (I_OLR/σ_SB)^1/4 ≈ 255K (1.44)

Po odečtení od průměrné teploty dostaneme teplotní forcing skleníkového jevu

ΔT = T_E – T_eff = (288 – 255) K = 33K (1.45)

Driftování IR fotonů atmosférou (LW)

Zatímco radiace od slunce se šíří přímočaře (přibližně v ≈ c), jakmile dojde k pohlcení, vyzáření se výrazně zpomalí opětovnými interakcemi. Dritování IR fotonů v radiačním poli (radiační difúze) probíhá skrze neustálé srážky molekul a vyzařování IR fotonu a dalšími způsoby translace (kondukce + konvekce + radiace). Zatímco pro viditelné záření je atmosféra víceméně průhledná, pro IR fotony v absorbčním okně (IR foton má vlnovou délku, která je snadněji a atmosféře pohlcovaná skleníkvými plyny) je tomu naopak. Pokud se IR foton pohybuje mezi molekulami, jeho rychlost je stejná, jako rychlost světla ve vakuu v_ph = c, pokud je foton pohlcený molekulou GHC (Green House Gas), molekula se excituje a následnými srážkami molekuly s dalšími molekulami dojde k předání energie fotonu molekule v podobě kinetické energie, která je přímo úměrná teplotě (Boltzmannův zákon [1.27]). Tato energie se po jisté době zrelaxuje zpátky vyzářením IR fotonu. Celý cyklus je možné schématicky vyjádřit jako absorpce (~10^-15 s) → VT relaxace (Vibrational-Translational energy transfer, viz dále) (~10^-10 s, pro běžný tlak při povrchu) → tepelná reemise (~10^-3 s). Pravděpodobnost vyzáření IR fotonu je tedy poměrně malá, protože doba pro relaxaci je dlouhá. Současně, náhodný směr vyzáření IR fotonu způsobuje, že radiálním směrem odchází jen 1/4 IR fotonů (viz (1.3), výpočet se týká opačného procesu, tedy vyzařování polokoule v radiálním směru, ale výpočetní postup je analogický). Zbytek přispívá ke zpomalení radiálního toku IR fotonů, tj. k udržení teploty (skleníkového jevu). Ohřátá tělesa chladnou pomalu (makroskopické sálání). To je v souladu s běžným pozorováním.

Pro driftování IR fotonů radiálním směrem v atmosféře (podle osy z procházející středem Země) zaveďme driftovací rychlost

v_drift(z) = F_rad(z)/u(z)​ (1.46)

v_drift – rychlost driftování (ms^-1)
F_rad, F_nett – intenzita driftujícího záření (radiation, netto radiation) (Wm^-2)
u – objemová hustota energie (Jm^-3)

Objemová hustota energie záření je definována jako integrál intenzity přes celý prostorový úhel, dělený rychlostí světla. Pro sférické souřadnice se pak vyjadřuje jako integrál intenzity záření přes celý prostorový úhel dělený rychlostí světla. Oproti intenzitě záření, které je směrové (měříme v jednom směru bez ohledu na to, jestli je příchozí záření fakticky směrové, nebo všesměrové), je objemová intenzita všesměrová. Proto integrace z definice (pro celý prostorový úhel – celou kouli) po dosazení Planckova vyzařovacího zákona a dosazením za spektrální zářivost v diferenciálním tvaru bude v rovnovážném stavu pro izotropní záření B_ν(ν,T) = L_ν(ν, θ, φ, T)

du_ν(T) = dE_ν(T)/dV​ = (B_ν​(T)dAdΩdt​)/(dA⋅cdt)= (B_ν​(T)/c)dΩ​ (1.47)

u_ν(T) = (1/c)∫_4π​B_ν(T)dΩ=(​​B_ν(T)/c)∫₀^2π​dφ∫₀^π​sinθdθ =​ (4π/c) B_ν(T) (1.47')

B(ν,T), I_ν(ν, θ, φ, T) - spektrální zářivost (spectral radiance), též spektrální intenzita záření je výkon záření na jednotku plochy, jednotku prostorového úhlu a na jednotku frekvence (Wm⁻²Hz⁻¹sr⁻¹); po integraci má B_ν(T) rozměr (Wm⁻²Hz⁻¹)
dE – diferenciál změny energie (J)
dV – diferenciál změny objemu (m³)
dA – diferenciál změny plochy (m²)
Ω – prostorový úhel ve steradiánech (sr)

Integrací přes vlnovou délku i frekvenci (výsledek musí být stejný) dostaneme za předpokladu lokální termodynamické rovnováhy (Local Thermodynamic Equilibrium, LTE) platí

u_LTE(T, z) = ∫₀^∞​u_ν​(T, z)dν = (4π/c​)⋅∫₀^∞​B_ν​(T, z)dν= (4π​/c)⋅(σ_SB/π)_​T(z)⁴ (1.48)

u_LTE(T, z) = (4σ​_SB/c)⋅ T(z)⁴ ≡ aT(z)⁴ (1.49) srovnej s (1.11)

a – radiační konstanta a = 4σ/c ≈ 7.566×10⁻¹⁶ Jm⁻³K⁻⁴

Objemová hustota energie při zemi je podle (1.49) pro z = 0 u₀ ≈ 5.20×10⁻⁶Jm⁻³ (Jm^-3, W·s·m^-3).

Pro izotropní všesměrové záření v (LTE) pak pro intenzitu záření platí

F(T) = (c/4)​u(T) (1.50)

Po dosazení za u(T) (1.49) dostaneme Stefan Boltzmannův zákon (1.11).

Pro výpočet objemové hustoty energie platí Eddingtonův vztah (Arthur Stanley Eddington, syn anglického kwakera se nepřímo svými pozorováními zatmění Slunce potvrzujícími předpověď ohybu světla podle OTR zasloužil o udělení Nobelovy ceny Albertu Einsteinovi [1.46]). Podle něj, pro dvouproudovou aproximaci, která připouští izotropní intenzitu záření v horní a dolní polokouli jinou. V dvouproudém přiblížení hustota energie záření odpovídá vyzařování černého tělesa o teplotě T(z) [1.44]

u(z) = (2/c)​⋅​[F^↑​(z)+F^↓​(z)] (1.51)

Pro výpočet jednosměrné intenzity záření můžeme použít upravenou Schwarzschildovu rovnici (Karl Schwarzschild (1873–1916) publikoval svojí práci o atnosféře hvězd v roce 1906 a o deset let později (1916) našel první řešení Einsteinových rovnic gravitačního pole známé jako Schwarzschildova metrika, ze kterého plyne Schwarzschildův poloměr černé díry), která spojuje Stefan-Boltzmannův zákon a Beer-Lambertův zákon. Schwarzschildova rovnice popisuje skleníkový jev a ukazuje, že vyžaduje nenulovou teplotní divergenci (side efekt nerovnováhy je vertikální a poté, i kvůli anizotropii a rotaci Země, horizontální konvekce (proudění)) viz též R_rad (1.6) [1.47]

dF^↑/dz ​​= β_R​(z)[σ_SB​T(z)⁴ − F^↑​(z)] (1.52) srovnej s (1.6)

dF^↓/dz ​​= β_R​(z)[F^↓​(z) − σ_SB​T(z)⁴] (1.52') srovnej s (1.6)

β_R – Rosselandův střední extinkční koeficient β_R

Rosselandův střední extinkční koeficient β_R (Rosselandova průměrná opacita) [1.36] je vážený průměr absorpčních koeficientů napříč všemi frekvencemi (vlnovými délkami) elektromagnetického záření. Používá se v astrofyzice, vědě o plazmatu a při tepelném modelování k popisu toho, jak snadno záření prostupuje prostředím. Platí ł_R = 1/β_R; srovnej s (1.24), kde ł_R je Rosseladova střední volná dráha. Přesné určení je opět numerické, protože například střední volná dráha ł IR fotonu u zemského povrchu (v silně pohlcujících pásech H₂O a CO₂ v pohlcovacím okně 15 μm) je řádově desítky až stovky metrů, zatímco ve vedlejším propustném okně 10-13 μm je atmosféra téměř dokonale propustná, ł → ∞. Také pravděpodobnost absorbce prudce klesá se změnou λ, ale pro malé ±Δλ je nenulová. Právě proto se zavádí jako vážená střední hodnota, kterou můžeme použít pro makroskopické výpočty.

Hustota energie se dá odvodit i ze škálové výšky za zjednodušujícího předpokladu lineárního poklesu teploty H_u​(z) = −(dln(u)/ dz​)⁻¹ = −T(z)/4L a za předpokladu lokální termodynamické rovnováhy (LTE)

u(z) = u₀⋅​exp[−∫₀^z ​dz′/H_u​(z′)​] = u₀​exp[∫₀^z​ (4L)/(T₀+Lz′)​dz′] (1.53)

u(z) = u₀​⋅exp{4⋅ln[(​T₀​+Lz)/T₀] = u₀(​T(z)/T₀​)⁴ (1.53')

Fickův zákon definuje radiační tok (intenzita záření) jako divergenci hustoty energie [1.35]

F_rad = −D du/dz = −(cł/3)​⋅ du/dz (1.54)

D – difúzní koeficient
ł – střední volná dráha (m)

Fotony se v opticky husté látce pohybují jako náhodná procházka (terminus technicus) se střední volnou dráhou ł. Difúzní koeficient D náhodné procházky viz [1.37]

D = c​⋅ł/3 (1.55)

Dosazením F_rad (1.54) do (1.44) a definice H_u dostáváme vztah pro výpočet IR driftu

v_drift(z) = −(cł_R/3)​⋅((1/u(z))​du(z)/dz​ = −(cł_R/3)⋅d(ln(u(z)))/dz ​ = c/(3β_RH_u)​ (1.56)

ł_R – Roselandova střední volná dráha (m)
Hu, H_u – škálová výška objemové hustoty energie (scale height) viz (1.16), (1.14')

Za předpokladu lineárního poklesu teploty a při zjednodušujícím předpokladu pro objemovou hustotu (1.45) dosadíme do definice H_u; dosadíme lapsový koeficient pro teplotu L(z) ≡ dT/ dz​. Po integraci a úpravách dostaneme vztah pro škálovou výšku H_u(z), která je závislá na optické hloubce

H_u(z) = -(dln(u(z))/dz)^-1 = -T(z)/(4L) = -(T₀ + Lz)/(4L) (1.57)

H_u(z) = -T₀/(4L) – (Lz)/(4L) = H_u(0) – z/4 (1.57')

Spočítejme v_drift = c/(3β_RH_u)​ (1.53) v nízké výšce u země z₀ = 0m, a dále z = z₀+n​⋅ 2km pro n ∈ {1, 2, 3, 4, 5}. Rosselandovu střední volnou dráhu ł_R0 u povrchu země spočítáme přes Rosselandův extinkční koeficient 1/ł_R0 = β_R0​= ϰ_R​⋅​ρ₀, který byl stanovený přes všechny vlnové délky na základě kvalifikovaného odhadu (přesný výpočet není triviální)

β_R0​ = ϰ_R⋅ρ₀ ​= 0.001×1.2= 0.0012 m⁻¹ (1.58)

Další výpočet je aproximace, protože podrobnější výpočet vyžaduje numerické zpracování po layerech a jiný výpočet β_R pro každou složku plynu zvlášť přes všechny vlnové délky (harmonický průměr součtu ≠ součet harmonických průměrů).

Rozdělme β_R0 = 0.0012 m⁻¹ na dva koeficienty. Koeficent β_RH₂O s váhou 80 % a škálovou výšku pro páru H_uH₂O(0) = 2km a β_RCO₂ s váhou 20 % a škálovou výšku pro CO₂ H_uCO₂(0) = 8km v nulové výšce (při povrchu). Tento krok je legitimní a není triviální. Jde o kvalifikovaný odhad, který vychází z teoretického základu a z měření [1.38][1.39].

β_R​(z) ≈ 0.00096e^{−z/HuH₂O(z)} + 0.00024e^{−z/HuCO₂(z)} (1.59)

Pokud bychom použili zjednodušený vztah (1.54') pro výpočet β_R​(z), narazíme na omezení v podobě dělení nulou. Museli bychom použít přesnější numerickou aproximaci. Zůstaneme u jednoduchého modelu a budeme předpokládat, že H_uH₂O(z) = H_uH₂O(0) a H_uCO₂(z) = H_uCO₂(0) se s výškou nemění. Výpočetní chyba je akceptovatelná v tom smyslu, že nám jde o náhled, nikoli přesný výpočet. H_u budeme počítat v teplotní závislosti jen pro vlastní škálovou výšku H_u (1.53) podle (1.54)

H_u ≈ 8430m je průměrná škálová výška vzduchu troposféry pro průměrnou teplotu, kde převládají N₂, O₂ a pro meze pro škálovou výšku H_u​(0) a H_u​(12000) dostávame dle (1.50)

H_u​(0) ≈ − 288/(4×(−0.0065))​ = 11077m (1.60)
H_u​(12k) ≈ − (288 −(0.0065×12000))/(4×(−0.0065)​) = 8077 m (1.60')

Poměr H_u​(12k)/H_u​(0) ≈ 1.371 je míra nejistoty, kterou do výpočtu zjednodušením vnášíme.

Máme vše pro výpočet driftové rychlosti IR záření v různých výškách od povrchu při různých škálových výškách H₂O a CO₂ dle (1.49).

Tabulka driftovací rychlosti IR záření v kolmém směru od Země Tab1.7

Výška	βR​(z)(km-1)	T(z) (K)	Hu (m)	uLTE(z)(μJm-3)	łR (m)	vdrift (ms-1)	Fnett (Wm-2)
0m	1.2000	288	11077	5.2047	833	0.0251c	39.16
2km	0.5401	275	10577	4.3267	1852	0.0584c	75.75
4km	0.2755	262	10077	3.5647	3630	0.1201c	128.35
6km	0.1612	249	9577	2.9082	6205	0.2160c	188.32
8km	0.1059	236	9077	2.3468	9445	0.3469c	244.06
10km	0.0752	223	8577	1.8709	13292	0.5166c	289.75
...

Tab1.6 udává možné rozdělení střední driftovací rychlosti pro bezoblačnou oblohu. Aproximace se týká hlavně kvalifikovaného odhadu poměru H₂O a CO₂; zatímco ϰ_R CO₂ je v troposféře přibližně konstantní, ϰ_R H₂O se mění. S rostoucí výškou střední volná dráha a rychlost driftu v_drift by neměla tak strmě růst, protože některé parametry se vzájemně ruší. Zjednodušení vede ke zkreslení, ale závislosti jsou zachované. Nad troposférou prakticky mizí vodní pára a mění se teplotní rozložení (izotermická vrstva), tj. extinkce má jinou charakteristiku.

Jako další přiblížení může sloužit zpřesněná tabulka, kerou vygenerovala AI Claude. Pro Rosselandův extinkční koeficient byla použitá stejná zjednodušující analytická formule (1.56). Pro výpočet intenzity záření byla použitá Schwarzschildova rovnice v diferenciálním tvaru (1.48), (1.48') se vstupní podmínkou F↑(0)=383.70W/m² pro intenzitu záření směr vzhůru a F↓(12×10³)=σ_SB·T( 12×10³)⁴ = 110.27W/m² (vyzařování černého tělesa) pro intenzitu záření směr dolů. AI řešil rovnici numericky metodou Runge-Kutta 4. řádu (RK45) [1.45] s kroky po 10m. Hustotu energie u(z) počítal analyticky podle Eddingtonova vztahu (1.47) a výpočet v_drift(z) = F_nett(z)/u(z) podle (1.44) má také analytický tvar.

Tabulka driftovací rychlosti IR záření v kolmém směru od Země Tab1.8

Výška	βR​(z)(km-1)	T(z) (K)	F↑(z) (Wm-²)	F↓(z) (Wm-²)	Fnett(z) (Wm-²)	u(z)(μJm-3)	vdrift (ms-1)
0km	1.2000	288	383.70	344.73	38.97	4.8596	0.02675c
2km	0.5401	275	358.27	243.58	114.69	4.0151	0.09528c
4km	0.2755	262	323.86	175.10	148.76	3.3287	0.14907c
6km	0.1612	249	295.83	137.97	157.86	2.8940	0.18195c
8km	0.1059	236	273.10	119.84	153.26	2.6214	0.19502c
10km	0.0752	223	254.29	112.17	142.13	2.4448	0.19392c
12km	0.0559	210	238.57	110.27	128.30	2.3272	0.18390c

Závislost driftovací (difúzní) rychlosti IR záření od země na výšce Graf1.7

Graf ilustruje možný gradient rychlosti difúze pohlcených IR fotonů směrem vzhůru od země. Některé vlnové délky jsou pohlcovány v IR spektru silně, některé téměř vůbec. Z toho důvodu dochází k selekci. Jen určité vlnové délky se výrazně podílí na sleníkovém jevu. Předchozí výpočet Tab1.7 dává nikoli konkávní, ale konvexní křivku závislosti rychlosti difúze (vdrift motónně zrychluje, gradient je kladný). Přesnější výpočty jsou v klimatologii prováděné numericky krokově po vlnových délkách (absorpčních oknech) a výškových vrstvách.

Závislost intenzity IR záření vzůru směrem od země na výšce Graf1.8

Odcházející intenzita záření má podle očekávání klesající křivku, která je téměř lineární.

Závislost intenzity IR záření dolů směrem k zemi na výšce Graf1.9

Velmi odlišný průběh má záření od atmosféry směrem dolů. Spodní husté a teplé vrstvy přispívají ke zpětnému záření velkou měrou.

Závislost netto intenzity IR záření (směrem od země) na výšce Graf1.10

Tento graf ukazuje rozdíl Fnett(z) = F↑(z) – F↓(z), tedy závislost skutečného vyzařování od země na výšce. Jde o aproximaci, naměřená hodnota při zemi je vyšší, protože jde o fyzikální model, který zanebává konvekci, kondukci, vliv oblačnosti a latentní teplo(výpar); Fnett(0) ≈ 63W/m² ( F↑(0) ≈ 396 W/m², F↓(0) ≈ 333 W/m².

Závislost Rosselandova extinkčního koeficientu na výšce Graf1.11

Extinkční koeficient je pravděpodobně nejvíce sporný, protože jsme použili hrubou aproximaci. Hustota vzduchu klesá s výškou přibližně lineárně (mocniná funkce, která se dá pro náš rozsah interpolovat klesající přímkou). βR​(z) bude proto pravděpodobně klesat ještě strměji,protože propustnost bude větší.

Závislost hustoty energie na výšce Graf1.12

Je vypočtená z Eddingtonova vztahu jako součet u(z) = (2/c)F↑​(z)+(2/c)F↓​(z) pro obě polokoule dělená rychlostí světla. Je monotónně klesající. Interpolace klesající přímkou by také byla možná.

Epilog s objemovou hustotou

Vraťme se ještě k výpočtu objemové hustoty výkonu (1.6) a k pomyslné tenké vrstvě atmosféry dz. Objemová hustota výkonu IR záření (OLR) R_rad(z) je přímo úměrná změně objemové hustoty energie IR záření u(z). Když za intenzitu záření dosadíme Schwarzschildovu rovnici a Eddingtonův vztah, dostaneme, z definice R_rad(z) = – dF_net(z)/dz (1.6), že hustota energie je úměrná rozdílu mezi hustotou energie záření u(z) a hustotou energie záření v lokální termodynamické rovnováze se svým okolím (u_LTE). Koeficient úměrnosti je c·β_R(z)/2; čím je větší objemový extinkční koeficient β(z) (silnější pohlcování záření hmotou), tím rychleji se tepelná nerovnováha vyrovná.

R_rad​(z) = −dF_LW^↑/dz​​ + dF_LW^↓/dz​​ = β_R(z)[(F_LW^↑(z)^​ − σ_SBT(z)⁴) + (F_LW^↓(z)​ − σ_SBT(z)⁴)] (1.61)

R_rad​(z) = β_R(z)[(F_LW^↑​+F_LW^↓​)−2σ_SBT(z)⁴] = (cβ_R(z)​/2)[u(z) − u_LTE​(z)] (1.62)

u_LTE​(z) – objemová hustota energie při lokální termodynamické rovnováze (LTE) u_LTE(z) = (4σ_SB​​/c)T(z)⁴ viz (1.62)

Tabulka objemové hustoty výkonu IR záření v radálním směru od a k Zemi Tab1.9

Výška	βR​(z)(km-1)	T(z) (K)	F↑(z) (Wm-²)	F↓(z) (Wm-²)	u(z)(μJm-3)	uLTE(z)(μJm-3)	Rrad(z) (mWm-3)
0km	1.2000	288.0	383.70	344.73	4.8596	5.2047	-61.4
2km	0.5401	275.0	358.27	243.58	4.0151	4.3267	-25.4
4km	0.2755	262.0	323.86	175.10	3.3287	3.5647	-9.60
6km	0.1612	249.0	295.83	137.97	2.8940	2.9082	-0.39
8km	0.1059	236.0	273.10	119.84	2.6214	2.3468	+4.37
10km	0.0752	223.0	254.29	112.17	2.4448	1.8709	+6.43
12km	0.0559	210.0	238.57	110.27	2.3272	1.4713	+7.21

Několik vět nad závěrem prvního dílu

Vysvětlení a kvantitaivní popis skleníkového jevu vyžaduje komplexní model. Z výše uvedeného textu je zřejmé, že zatímco energie přicházejícího záření, která je pohlcovaná atmosférou a povrchem Země, se pohybuje rychlostí světla c, radiace odcházejícího IR záření driftuje zlomky c (při povrchu je rozdíl rychlosti skoro dva řády). Tímto způsobem se dá i intuitivně vysvětlit kumulace energie v atmosféře, Graf1.7, Graf1.9, Graf1.11.

Modelovat reálné prostředí atmosféry, která je nestabilní a probíhají v ní neustálé změny, je natolik složité, že musela vzniknout celá vědní disciplína. Cílem textu nebylo vytvořit úplný model atmosféry, ale ukázat, že principy termodynamiky a radiačního přenosu poskytují konzistentní fyzikální rámec pro kvalitativní a kvantitativní vysvětlení skleníkového jevu a transportu tepelné energie v atmosféře. Tytéž fyzikální zákony se uplatňují také v jiných systémech, například při přenosu energie v nitru hvězd, v jaderných reaktorech, v oceánech nebo v zemské kůře. Matematika a fyzikální zákony se nemění podle toho, jestli ministerstvo životního prostředí plní svojí funkci nebo naopak životnímu prostředí škodí.

Podívejme se na Trenberthův diagram, který shrnuje klimatologický výzkum a výpočty do přehledného diagramu (Kevin Edward Trenberth (narozený 1944, spoluautoři John E. Fasullo, Jeffrey Kiehl, první publikace 1977) je novozélandsko-americký klimatolog, který pracoval v sekci klimatické analýzy v americkém Národním centru pro výzkum atmosféry [1.52]).

Kiehl-Trenberthův diagram toků energie Diag1.1

Kiehl-Trenberthův diagram postihuje komplexně celý předchozí text plus oblačnost, kterou jsme kvůli komplexitě vynechali. Opět, nejde o nějaké náhodné malůvky, ale o diagram, který je podložený dlouholetým výzkumem, jehož výstup je prezentovaný jednoduchou a srozumitelnou formou.

Nechť si laskavý čtenář na výše uvedeném Trenberthově diagramu (Diag1.1) povšimne červených zesilujících a zeslabujících šipek vzhůru a dolů. To je náš skleníkový jev, který se zřejmě nedá popsat jinak, než diferenciálními rovnicemi. Něco z toho, bylo vysvětleno v tomto textu.

Tvrdit, na základě dvou změřených hodnot pohlceného (SW) a vyzařovaného (LW) toku energie na povrchu Země (F_SW^↓(z) 162W/m², F_LW↑(0) = 386W/m²), která někdo vyčetl z nějaké ročenky, že jde o porušení II. termodynamického zákona je, jak je snad patrné z výše uvedeného, totální úlet a dezinformační nesmysl bez ohledu na to, jestli jde o emeritního profesora nabo kohokoli jiného.

A kde je ta klimatická změna? Dočkej času, ještě to bude chtít nějakou trochu delší kapitolu.

^* Číslování Graf1.1, vztah (1.2), odkaz na zdroj [1.3] atd..., odkazuje před desetinnou tečku na pořadové číslo článku, číslo za tečkou vyjadřuje pořadové číslo v daném článku. Je to proto, že autor se nevyhnul křížovým odkazům, které by jinak byly nejednoznačné.

Poděkování AI Grok , AI Chat GPT , AI Claude, Desmos generátoru za pomoc při vyhledávání údajů a generovaní obrázků. Zvláštní poděkování AI Claude, AI Grok, ChatGPT za intelektuální schopnosti při řešení otázek i za jejich omyly. Bez intenzívního rešeršování s AI by tento článek nevznikl; a současně jedna důležitá připomínka. Pořád platí dvakrát měř. Všechno si ověřujte i u zdroje, nespoléhejte slepě na AI. Je kreativní už jako člověk. Pokud neví, něco si vymyslí a když jí neplatíte, je na odpovědi skoupá. Graf1.1, Graf1.2 je volně šiřitelný pod licencí Wikimedia Commons , diagram Diag1.1 je volně šiřitelný pod licencí NASA, Zbylé grafy jsou vygenerované AI. Všechny obrázky a grafy jsou buď volně šiřitelné, nebo ve vlastnictví autora.

[1.1] Nějaké výpočty a trocha teorie v praxi

[1.2] Petr Kulhánek: Skleníkový jev na planetách sluneční soustavy

[1.3] Daniel Kortus: Klimatická změna: Proč exaktní věda prohrává s dezinformacemi?

[1.4] On the Influence of Carbonic Acid in the Air upon the Temperature of the Ground

[1.5] Myhre, G., Highwood, E. J., Shine, K. P., & Stordal, F. (1998). New estimates of radiative forcing due to well-mixed greenhouse gases. Geophysical Research Letters, 25(14), 2715–2718

[1.6] Earth’s energy budget

[1.7] Milankovičovy cykly

[1.8] IPCC Sixth Assessment Report

[1.9] Absolutně černé těleso

[1.10] Planck’s law

[1.11] Boltzmann constant

[1.12] Beer–Lambert law

[1.13] Boltzmann distribution

[1.14] Libre Texts Radiative Balance

[1.15] U.S. Standard Atmosphere

[1.16] International Standard Atmosphere

[1.17] Rayleigh scattering

[1.18] Raman scattering

[1.19] Molecular vibration

[1.20] Wien’s displacement law

[1.21] Kasha’s rule

[1.22] Franck–Condon principle

[1.23] Kirchhoff’s law of thermal radiation

[1.24] Radiative Balance

[1.25] Gravity of Earth

[1.26] David M. Romps, Jacob T. Seeley, Jacob P. Edman: Why the Forcing from Carbon Dioxide Scales as the Logarithm of Its Concentration

[1.27] Jak Albert Einstein přispěl k vývoji nejdostupnějšího občasného zdroje

[1.28] Einstein coefficients, cross sections, f values, dipole moments, and all that

[1.29] HITRAN

[1.30] Fresnel equations

[1.31] Novel Numerical Methods for Accurate Space Thermal Analysis

[1.32] Combined ASTER and MODIS Emissivity database over Land (CAMEL) Broadband Emissivity Climatology Monthly Global

[1.33] Subrahmanjan Chandrasekhar Radiative transfer

[1.34] Experimental Investigations on Radiative Properties

[1.35] Fick’s laws of diffusion

[1.36] Opacity

[1.37] Diffusion

[1.38] Modest, Radiative Heat Transfer

[1.39] Practical Meteorology: An Algebra-based Survey of Atmospheric Science

[1.40] Clausius–Clapeyron relation

[1.41] Suykuro Manabe a Richard T. Wetherald: Thermal Equilibrium of the Atmosphere with a Given Distribution of Relative Humidity

[1.42] NASA Earth’s Energy Budget

[1.43] Schwarzschild’s equation for radiative transfer

[1.44] The two-stream δ-Eddington approximation to simulate the far infrared Earth spectrum for the simultaneous atmospheric and cloud retrieval

[1.45] A family of embedded Runge-Kutta formulae

[1.46] Wikipedia Arthur Stanley Eddington

[1.47] Schwarzschild’s equation for radiative transfer

[1.48] Linepak: Algorithms for modeling spectral transmittance and radiance

[1.49] Reference Standard Atmospheres

[1.50] Grant W. Petty: A First Course in Atmospheric Radiation

[1.51] Robert Andrew Rohde

[1.52] Kevin Edward Trenberth

[1.53] Sean Cohen , Robert Pincus, Lorenzo M. Polvani: Stratospheric cooling and amplification of radiative forcing with rising carbon dioxide