Jak Kantova antinomie dokazuje, že nekonečno neexistuje

Ve své středeční přednášce „Tajemný svět za Schrödingerovou kočkou a nekonečnem“ v Polsku jsem udělal malý neúplný seznam géniů, kteří ukázali, že aktuální nekonečno neexistuje. Po Aristotelovi a Galileovi je tam i Immanuel Kant.

Pro nematematiky jen rychle zopakujme, že potenciální „nekonečno“ je něco vždy konečného, co ale můžeme kdykoliv zvětšit. Když třeba uděláme řadu čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, jistě tuto řadu můžeme prodloužit o další člen nebo o několik členů. Tato řada bude ale vždy konečná, protože žijeme konečně dlouho, ale vždy je možné ji také prodloužit, ať dosáhne jakékoliv velikosti. To je příklad potenciálního „nekonečna“.

Když si ale představíme, že tuto řadu může třeba bůh jako všemohoucí v mysli vytvořit až do konce, tedy se tato řada stane „skutečně“ nekonečnou, je to příklad aktuálního nekonečna. Už v této úvaze si ale všimneme, že pojem aktuálního nekonečna je rozporný. Kurzívou výše jsme naznačili v čem. Něco, co nemá mít konec, je to tedy nekonečné, je vytvořeno až do konce. Je to něco nemožného jako třeba kružnice se třemi vrcholy. :)

Galileo Galilei dokázal, že řada přirozených čísel nemůže být nekonečná (Wiki free picture)

Udělejme ale seznam známých géniů, „nepřátel“ nekonečna. (Slovem nekonečno vždy myslíme výše uvedené aktuální nekonečno. Když budeme mluvit o potenciálním „nekonečnu“, vždy ho budeme uvádět v uvozovkách a vždy bude se slovem potenciální.) Teď ten seznam:

1) Aristoteles (poprvé vysvětlit výše uvedené 2 druhy tohoto pojmu)
2) Galileo (dokázal neexistenci nekonečna, což se dnes vyhýbavě nazývá Galileovým paradoxem, a tento důkaz udržel matematiku bez nekonečna zhruba do roku 1900)
3) Avicena
4) Immanuel Kant (předvedeme si za chvíli)
5) Newton (původně svůj kalkul chápal s nulovými, tedy nekonečně malými kroky, později pochopit, že je to logický nesmysl...)
6) Ludwig Wittgeinstein
7) Tomáš Akvinský
8) Thomas Hobbes
9) Georges Cantor (i ten, kdo vložil nekonečno do matematiky, odmítal překvapivě existenci nekonečně malého)
10) Peano (ve své aritmetice nepoužíval nekonečno, neboť to vytvářelo rozpory)
11) atd....

Proti z těch slavných stojí jen Cantor, Hilbert a Bolzano. Uvádím seznam „nepřátel“ nekonečna proto, aby bylo jasné, že neexistence nekonečna není jen můj výmysl. A proto, že ti, co tvrdí, že nekonečno v matematice existuje, se musí vypořádat s argumenty těchto géniů.

Vyšší autoritou, než tito géniové je ale logika, takže pojďme ke Kantovým logickým argumentům. Ve své „Kritice čistého rozumu“ Immanuel popisuje první antinomii takto:

„Teze: Svět má počátek v čase a co do prostoru je ohraničený.“ A argumentuje: „Předpokládejme totiž, že svět nemá začátek v čase. Pak do každého daného okamžiku uplyne věčnost, tedy nekonečná řada za sebou následujících stavů věcí ve světě. Nekonečnost nějaké řady však spočívá právě v tom, že ji není možno ukončit sukcesivní syntézou. [Sukcesivní syntézou Kant myslí postupné přidávání konečných částí, jak jsme se ukázali u výkladu potenciálního „nekonečna“.] Tedy nekonečná uplynulá světová řada není možná, a proto začátek světa je nevyhnutelnou podmínkou jeho existence.“

Titul Kantovy Kritiky čistého rozumu (foto JF)

Abychom Kantův argument vysvětlili srozumitelně, můžeme se vrátit k výkladu potenciálního „nekonečna“. Neustálým přidáváním dalšího čísla nekonečnou řadu nevytvoříme. Abychom ji vytvořili, museli bychom přidat další číslo nekonečněkrát, což rychlost našeho uvažování, či uvažování jakéhokoliv počítače, nedovoluje. Navíc je to něco jako kouzelnický trik, kde se králík skrytě podstrčí, aby se pak tvrdilo, že byl vytvořen. Zde taky: abychom dosáhli nekonečné řady, musíme něco nekonečněkrát přidat. Tedy mimo pozornost vložíme nekonečno v podobě nekonečného počtu přidání konečných částí, abychom dosáhli nekonečné řady. Ovšem jak dosáhneme nekonečného počtu přidání, že? Ve své disertaci a své knize tento podvůdek nazývám tautologií nekonečna.

Prohlásit, že odmítat nekonečnost kvůli konečnosti lidských vlastností, je antropocentrismus, a že nekonečno přesto existuje, je zcela nepodložené tvrzení. Když je totiž nekonečno za horizontem našeho uvažování, nemůžeme si bezdůvodně vymýšlet, že tam je, když tam náš mozek nedosáhne. Jediný, kdo by tam mohl vidět, kdyby existoval, by byl bůh s absolutním myšlením. Ten ale neexistuje (viz důkaz neexistence boha), a i kdyby existoval, bylo by nekonečno v jeho „hlavě“ pro lidi stejně nedosažitelné, jako nekonečno bez boha. Bůh je tedy v této úvaze zcela zbytečný. Ostatně do logické úvahy bůh jako nevědecký pojem nepatří. A kdyby se někdo přes boha snažil nekonečno dosáhnout, nebylo by to navíc nic jiného než jen rouhání a pýcha, protože by člověk předpokládal, že má boží schopnosti. Bylo by to stahování boha na úroveň lidské omezenosti. Je to tedy braní božího jména nadarmo.

Nekonečno je jen podoba boha v matematice, která patří do víry, ale rozhodně pro svou iracionalitu nepatří do vědy (AI picture)

(Nic proti bohu v osobním životě, nic proti bohu jako motivaci ve vědě, viz Einsteinovy nebo Newtonovy teorie apod. Ale jako axiom nebo argument bůh do vědy nepatří, věda není víra. Víra je konec vědy.)

V přístím blogu si překvapivě naopak ukážeme, že svět nemůže být konečný, ukážeme si, jak to Immanuel dokázal, a co z toho plyne. Tedy podáme řešení této jeho první antinomie. Blog se bude jmenovat Jak Kantova antinomie dokazuje, že „nekonečno“ existuje. :)

Jen si nakonec všimněte, že naše úvaha o neexistenci nekonečna neplatí jen pro svět, realitu, ale i pro v úvodu uvedenou řadu čísel. Platí tak i a dokonce především pro jakoukoliv abstrakci. A tím také i pro realitu. Neboť není-li trojúhelník s pěti vrcholy možný v abstrakci, není možný ani v realitě.