A proto existují pojmy jako je ... ohraničené nekonečno - typicky úsečka. A proto existují pojmy jako mohutnost nekonečna, tedy mohutnost nekonečna úsečky o délce 5 cm je zkrátka menší než mohutnost nekonečna úsečky o délce 7 cm ... a proto ten zápis z blogu x + x = x ... není za všech podmínek pravdivý :)

Tyto pojmy jsou ale jen iluze, protože úsečka nemá nekonečně bodů. Ty nelze ani myslet ani realizovat jinak. Je to jen taková matematická Bílá paní. Opírá se, metaforicky řečeno, o nekorektní matematickou operaci násobení nuly nekonečnem.

"Stačí se zeptat kde existují, aby byla jasná iluzornost této existence. Odpovědí totiž je typicky, že ve vědomí Boha." Ale vždyť to platí pro všechny matematické objekty!! Kde existuje číslo 5? My ho sice můžeme napsat na papír, ale to je jen symbol, to není to číslo (stejně jako dýmka na obraze není skutečná dýmka). Kde existuje imaginární jednotka? Kde existuje spojitá funkce, která nemá v žádném bodě derivaci? Z vaší logiky vyplývá, že žádné matematické objekty neexistují!!!

Nikoliv, protože číslo 5 existuje v naší hlavě. A všechny ostatní pojmy. Na to nepotřebujeme Boha. Ovšem naše hlava má všechny vlastnosti konečné, takže se tak nekonečno "nevleze", proto je potřeba vymyslet si k tomu pohádku boha.

Několik poznámek k blogu:

1.Citát: "Pro všechna konečná čísla a množiny platí, že jejich část je menší než celek"

a) Polovina nuly je nula. Nula je konečné číslo. A přitom není menší než nula.

b) Polovina -2 je -1. Konečné číslo -1 ale není menší než -2.

2. Citát: "... což je splněno jen pro nulu, ale ne pro jakoukoliv nenulovou hodnotu"

Pokud jiné hodnoty předem tímto tvrzením odmítnete, tak je samozřejmé, že v závěru musíte nekonečno odmítnout, protože byste měl druhý oběkt s podobnou vlastností, ale to jste na začát zavrhl.

3. Jedním z argumentů pro zkoumání možných vlastností aktuálního nekonečna by mohla být právě skutečnost, že naše poznatky jsou konečné. Nejsme sice nejspíš schopni ověřit, je-li aktuální nekonečno přítomno v realitě nebo ne, ale nevíme vše. Podobně, jako jiné matematické struktury, pro které se našlo využití po jejich objevení, by se třeba někdy mohlo hodit.

4. Druhým argumentem by mohlo být i to, že se jedná o užitečnou techniku, zjednodušující popisy. Podobnou, jako třeba zavedení nevlastních bodů v geometrii - což je vlastně také jistý druh nekonečna.

ad 1a) To je v blogu uvedeno, že pro nulu to neplatí. Ona nula je taky překvapivě forma nekonečna, je to něco nekonečně malého, takže tam je podobný problém.

ad 1b) Tady se myslí menší ve smyslu části, tedy -1 + -1 = -2. Tedy se bere absolutní hodnota. Prostě v obráceném směru je -1 menší než -2, neboli lze -2 složit ze dvou -1. Opravdu to nechce jít na věc mechanicky. :-)

ad 2) Protože nekonečně velké i nekonečně malé nefungují v aritmetice, vylučuje je aritmetika, ne já. Prostě nepatří do množiny přirozených čísel, protože pro ně neplatí aritmetika, jako pro zbytek.

ad 3) To je jen takové nezávazné povídání. A také na to stačí potenciální "nekonečno", které je bez rozporů.

ad 4) Není to užitečná technika, protože aktuální nekonečno nikdy nikdo nijak nepoužil. Je to jen taková ideologie, ale prakticky se vždy použije nějaké konečná hodnota či potenciální "nekonečno". Nekonečno je jen iluze, za kterou se skrývá něco zcela jiného. Stačí se podívat do diferenciálního počtu. Ten funguje na tom, že nic není nekonečně malé, ale vždy se dostaneme jen velmi blízko bodu (viz omega delta okolí bodu) a výsledek dostaneme zaokrouhlený. Nikdy tedy nesčítáme při integrováno nekonečně mnoho "bodů". :-)

Porovnávání nekonečen má smysl, stejně tak i aritmetika mezi nimi. Třeba všech přirozených čísel je stejně jako všech sudých čísel - každému sudému číslu se dá jednoznačně přiřadit přirozené číslo a naopak.

Akorát tam nikde není žádné nekonečno. To by člověk musel mí schopnost absolutního zobecnění a být tedy bůh. Vždy člověk přiřadí pár čísel jiným číslům a z toho se nedá udělat extrapolace do nekonečna. Máme totiž přesně 0% vzorek ze všech (nekonečně) čísel, takže nemáme žádný vzorek a nemůžeme usuzovat na nekonečný celek.

Mimochodem to přiřazování sudých čísel přirozeným velmi připomíná Galileův argument, na základě kterého bylo nekonečno odmítáno až do roku 1900. Sudá čísla jsou taky přirozená, tedy jako by řada přirozených čísel určená těmi sudými byla větší než sama řada přirozených čísel. Galileo tam měl druhé mocniny. Takže přirozená čísla by musela být částí sama sebe. Odporuje to také Euklidovu axiomu, že část je menší než celek.

Takže jste to nekonečno spíše potopil, než ho podpořil.

Když k úsečce o délce 5 cm přidáme sedmimetrovou, nebude výsledná úsečka měřit 12 cm, nýbrž 705 cm.

Jen tak na okraj od vyšší matematikou nepolíbeného jedince.

Díky za upozornění na "překlep". Opraveno.

Myslela jsem, že myšlenka opíše kruh a vrací se do bodu vzniku. Jsou to vlastně, dva kruhy, ležatého nekonečna.

Tento blog mi prijde nejaky nejasny.

Postradam definici toho, o cem blog pojednava. Napriklad bych chtel videt definici nekonecne mnoziny a pak nejakou vetu, ktera neco rika o jejich vlastnostech.

Muzeme diskutovat, jestli ve skutecnem svete existuji realna cisla, jestli nekdo videl v realnem svete napr. jednicku. Takova uvaha vsak neni uvahou matematickou.

Však taky jde o mnohem širší pohled než je ten matematický. Matematika totiž nezkoumá, co je to abstrakce, a jaké jsou její vlastnosti, a třeba jestli může být abstrakce absolutní. Proto neumí odpovědět na otázku, zda existuje absolutní abstrakce, třeba právě aktuální nekonečno.

Všiml bych si, že zakladatelé teorie množin, Bolzano a především Cantor, stavěli aktuálně nekonečnou množinu na filosofické argumentaci. To je její základ, vycházející z Boha, protože taková množina může existovat jen v sensoriu Dei, neboli v boží hlavě. Teprve následně s ní pracovali v matematice.

A protože nekonečná množina nejde zkonstruovat, ale jen zavést jako axiom, zdá se, že je jen boží dar, tedy jakási matematická esoterika.

Mám pocit, že už jsem kdysi podobný článek o nekonečnu a matematice od vás zde četl. Ani tento a pan B. mě jako velkého příznivce matematiky nepřesvědčili o neexistenci nekonečna....ale zajímavý blog

Ano, obhájil jsem PhD disertaci na téma nekonečno, takže se k tématu dost vracím. Ale tentokrát mě zaujalo, že Bolzano, který je považován za toho, kdo uvedl aktuální nekonečno do teorie množin a do matematiky, má ve svém ústředním díle asi ne zcela úmyslně i silné argumenty proti existenci nekonečna v matematice. Přečetl jsem si konečně jeho knihy a nalezl tam takové argumenty.

Mimochodem, kniha je to velmi srozumitelná, takže ji doporučuji všem k přečtení.